习题课4答案1

这篇内容涉及的是概率统计和随机变量的相关知识，主要讲解了概率分布、协方差、相关系数以及二维均匀分布。以下是对这些概念的详细说明： 1. **概率分布**： - 题目中提到了正态分布 (`β(nelly, pnelly)`) 和二项分布 (`B(n, pxi)`)。正态分布是一种连续概率分布，常用于表示数据的集中趋势，具有均值 `nelly` 和标准差 `pnely`。二项分布则描述了在独立的伯努利试验中成功次数的概率分布，参数 `n` 表示试验次数，`pxi` 表示每次试验成功的概率。 2. **期望与方差**： - 期望（均值）是随机变量的平均值，例如 `E(X)` 和 `E(Y)` 分别表示变量 `X` 和 `Y` 的期望。方差 `Var(X)` 描述了变量 `X` 值的离散程度，`Var(Y)` 同理。这里还计算了 `X` 和 `Y` 的平方的期望 `E(X^2)` 和 `E(Y^2)`。 3. **协方差与相关系数**： - 协方差 `Cov(X, Y)` 衡量两个随机变量 `X` 和 `Y` 的共同变化程度，它等于它们的期望乘积减去各自期望的乘积。当 `Cov(X, Y) = 0` 时，表明 `X` 和 `Y` 独立或线性无关。 - 相关系数 `Corr(X, Y)` 是协方差与两个变量标准差的乘积的比值，范围在 `-1` 到 `1` 之间，表示 `X` 和 `Y` 相关性的强度和方向。如果 `Corr(X, Y) = 0`，则 `X` 和 `Y` 无线性相关性；如果是 `1` 或 `-1`，则表示完全正相关或负相关。 4. **条件概率**： - 条件概率 `P(|X| < 0.5, |Y| < 0.5)` 描述了 `X` 和 `Y` 都在绝对值小于 0.5 的区间内的概率。而 `P(X^2 + Y^2 < 0.5)` 表示 `X` 和 `Y` 的平方和小于 0.5 的概率。题目中证明了这个条件概率的不等式关系。 5. **二维均匀分布**： - 设定 `U={(x, y)|x^2 + y^2 = 1}` 是单位圆，它表示一个二维均匀分布的样本空间。对于这样的分布，所有落在圆内的点都有相同的概率密度。 6. **联合分布**： - 联合概率分布 `P(X=x, Y=y)` 描述了同时发生的事件 `X` 和 `Y` 的概率。题目中给出了联合概率的计算方法，包括二项分布的联合概率和二元均匀分布的联合概率密度函数。 7. **边缘分布**： - 边缘分布 `P(X=x)` 或 `P(Y=y)` 是通过联合分布得到单个变量的概率分布。例如，`P(X=x)` 可以通过积分联合分布 `f_X(x, y)dy` 求得。 8. **随机变量的线性组合**： - 线性组合如 `X+Y` 的期望和方差可以通过原随机变量的期望和方差及它们之间的协方差来计算。协方差也是衡量线性组合分散度的一个关键因素。 这些知识在统计学和数据分析中非常重要，理解和掌握它们能帮助我们理解随机现象并进行有效的统计推断。