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习题课3答案1
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1 + ( − )[( − )2 − 2]( ∈ (1, 2), ∈ (0, 1)) = 0 < ( ∈ (1, 2))( ∈ (0, 1))
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43
VVVÇÇÇØØ؆††êêênnnÚÚÚOOO111nnngggSSSKKK‘‘‘KKK888)))‰‰‰
KKK1 ‘ ÅCþ𝑋†𝑌 Õá §þÑlëê•1•ê©Ù§¦𝑈 = 𝑋 + 𝑌 §𝑉 =
𝑋
𝑋+𝑌
é ÜVÇ—
ݼ꧿äÕá5"˜„/§•Ä𝑋, 𝑌 •ÕáGamma©Ù£ëê©O´(𝛼, 𝜆)Ú(𝛽, 𝜆)¤
‘ÅCþœ/"
)))µëê•1•ê©Ùƒuëê•(1, 1)Gamma©Ù"¤±·‚†•Ä˜„œ/"d
𝑢 = 𝑥 + 𝑦,
𝑣 =
𝑥
𝑥+𝑦
,
)
𝑥 = 𝑢𝑣,
𝑦 = 𝑢 − 𝑢𝑣
.
u´𝑈, 𝑉 éÜVǗݼê•
𝑓
𝑈,𝑉
(𝑢, 𝑣) = 𝑓
𝑋,𝑌
(𝑥, 𝑦)
det
∂𝑥
∂𝑢
∂𝑥
∂𝑣
∂𝑦
∂𝑢
∂𝑦
∂𝑣
= 𝑓
𝑋
(𝑢𝑣)𝑓
𝑌
(𝑢 − 𝑢𝑣)
det
𝑣 𝑢
1 − 𝑣 −𝑢
=
𝜆
𝛼
(𝑢𝑣)
𝛼−1
Γ(𝛼)
𝑒
−𝜆𝑢𝑣
𝐼
𝑢𝑣>0
⋅
𝜆
𝛽
(𝑢 − 𝑢𝑣)
𝛽−1
Γ(𝛽)
𝑒
−𝜆(𝑢−𝑢𝑣)
𝐼
𝑢−𝑢𝑣>0
⋅ ∣𝑢∣
=
𝜆
𝛼+𝛽
𝑢
𝛼+𝛽−1
Γ(𝛼 + 𝛽)
𝑒
−𝜆𝑢
𝐼
𝑢>0
⋅
Γ(𝛼 + 𝛽)
Γ(𝛼)Γ(𝛽)
𝑣
𝛼−1
(1 − 𝑣)
𝛽−1
𝐼
0<𝑣<1
.
(*)
5¿þª¥§
𝜆
𝛼+𝛽
𝑢
𝛼+𝛽−1
Γ(𝛼 + 𝛽)
𝑒
−𝜆𝑢
𝐼
𝑢>0
´ëê•(𝛼 + 𝛽, 𝜆)Gamma©ÙV Ǘݼê§(*)ªüà'u𝑢3(−∞, +∞)þÈ©§
𝑓
𝑉
(𝑣) =
+∞
−∞
𝑓
𝑈,𝑉
(𝑢, 𝑣)𝑑𝑢 =
Γ(𝛼 + 𝛽)
Γ(𝛼)Γ(𝛽)
𝑣
𝛼−1
(1 − 𝑣)
𝛽−1
𝐼
0<𝑣<1
,
Ïd𝑉 Ñlëê•(𝛼, 𝛽)Beta©Ù"2é(*)üà'u𝑣3(−∞, +∞)þÈ©§
𝑓
𝑈
(𝑢) =
+∞
−∞
𝑓
𝑈,𝑉
(𝑢, 𝑣)𝑑𝑣 =
𝜆
𝛼+𝛽
𝑢
𝛼+𝛽−1
Γ(𝛼 + 𝛽)
𝑒
−𝜆𝑢
𝐼
𝑢>0
,
Ïd𝑈Ñlëê•(𝛼 + 𝛽, 𝜆)Gamma©Ù§¿…𝑈, 𝑉 Õá"
44
555µ‘ÅCþ¼êVÇ—Ýúªkü‡dLˆª
𝑓
𝑈,𝑉
(𝑢, 𝑣) = 𝑓
𝑋,𝑌
(𝑥, 𝑦)
1
∂(𝑢, 𝑣)
∂(𝑥, 𝑦)
= 𝑓
𝑋,𝑌
(𝑥, 𝑦)
∂(𝑥, 𝑦)
∂(𝑢, 𝑣)
,
Ù¥
∂(𝑢, 𝑣)
∂(𝑥, 𝑦)
´¼ê𝑢(𝑥, 𝑦)Ú𝑣(𝑥, 𝑦)ê£=Jacobiݤ1ª£•¡Jacobian¤"
1‡Ò´Ï•¼ê†‡¼êê´p_‚5C†§ü‡p_‚5C†
1ªp•ê"3¢S¯K¥‡ÀC†/ªÀJÙ¥˜«•ª(½VǗݼê"
3·‚ù‡~fp§·‚ÀJ_C†𝑥 = 𝑢𝑣, 𝑦 = 𝑢 − 𝑢𝑣§Ï•é§¦‡'éC
†𝑢 = 𝑥 + 𝑦, 𝑣 = 𝑥/(𝑥 + 𝑦)¦{ü"
KKK2 ‘ÅCþ𝑋, 𝑌 éÜVǗݼê•
𝑓
𝑋,𝑌
(𝑥, 𝑦) =
1 + 𝑥𝑦(𝑥
2
− 𝑦
2
)
4
, ∣𝑥∣ ≤ 1, ∣𝑦∣ ≤ 1.
¦𝑋 + 𝑌 VÇ©Ù¼ê𝐹
𝑋+𝑌
"
))){{{1µ
𝑓
𝑋+𝑌
(𝑢) =
+∞
−∞
𝑓
𝑋,𝑌
(𝑢 − 𝑣, 𝑣)𝑑𝑣
=
+∞
−∞
1 + (𝑢 − 𝑣)𝑣[(𝑢 − 𝑣)
2
− 𝑣
2
]
4
𝐼
∣𝑢−𝑣∣≤1,∣𝑣∣≤1
𝑑𝑣
=
+∞
−∞
1 + (𝑢 − 𝑣)𝑣[𝑢
2
− 2𝑢𝑣]
4
𝐼
𝑢−1≤𝑣≤1+𝑢,−1≤𝑣≤1
𝑑𝑣
= 𝐼
max{𝑢−1,−1}≤max{𝑢+1,1}
min{𝑢+1,1}
max{𝑢−1,−1}
1 + (𝑢 − 𝑣)𝑣[𝑢
2
− 2𝑢𝑣]
4
𝑑𝑣
= 𝐼
−2≤𝑢≤2
𝑢
2
+1−
∣
𝑢
2
∣
𝑢
2
−1+
∣
𝑢
2
∣
1 + (𝑢 − 𝑣)𝑣[𝑢
2
− 2𝑢𝑣]
4
𝑑𝑣
= 𝐼
−2≤𝑢≤2
1−
∣
𝑢
2
∣
−1+
∣
𝑢
2
∣
1 − 2𝑢
𝑢
2
4
− 𝑤
2
𝑤
4
𝑑𝑤
5¿È©é¡5§-𝑤 = 𝑣 −
𝑢
2
= 𝐼
−2≤𝑢≤2
1−
∣
𝑢
2
∣
−1+
∣
𝑢
2
∣
1
4
𝑑𝑤
= 𝐼
−2≤𝑢≤2
2 − ∣𝑢∣
4
.
45
u´
𝐹
𝑋+𝑌
(𝑧) =
𝑧
−∞
𝑓
𝑋+𝑌
(𝑢)𝑑𝑢 =
min{2,𝑧}
−2
2 − ∣𝑢∣
4
𝑑𝑢
= 𝐼
𝑧≥2
+ 𝐼
−2≤𝑧<2
1
2
+
𝑧
0
2 − 𝑢 ⋅ sgn(𝑧)
4
𝑑𝑢
= 𝐼
𝑧≥2
+ 𝐼
−2≤𝑧<2
1
2
+
𝑧
2
−
𝑧
2
⋅ sgn(𝑧)
8
= 𝐼
𝑧≥2
+ 𝐼
−2≤𝑧<2
1
2
+
𝑧
2
−
𝑧∣𝑧∣
8
.
))){{{2µdu𝑋, 𝑌 éÜVǗݼê'ugCþ(𝑥, 𝑦)äk˜½é¡5§¤±•Äé¡Cþ
O†
𝑢 = 𝑥 + 𝑦,
𝑣 = 𝑥 − 𝑦,
dd)
𝑥 = (𝑢 + 𝑣)/2,
𝑦 = (𝑢 − 𝑣)/2,
u´𝑈 = 𝑋 + 𝑌 Ú𝑉 = 𝑋 − 𝑌 éÜVǗݼê
𝑓
𝑈,𝑉
(𝑢, 𝑣) = 𝑓
𝑋,𝑌
𝑢 + 𝑣
2
,
𝑢 − 𝑣
2
1
det
1 1
1 −1
=
1 +
𝑢
2
−𝑣
2
4
𝑢𝑣
8
𝐼
∣
𝑢+𝑣
2
∣
≤1,
∣
𝑢−𝑣
2
∣
≤1
.
¤±§
𝑓
𝑋+𝑌
(𝑢) = 𝑓
𝑈
(𝑢) =
+∞
−∞
𝑓
𝑈,𝑉
(𝑢, 𝑣)𝑑𝑣
=
+∞
−∞
1 +
𝑢
2
−𝑣
2
4
𝑢𝑣
8
𝐼
∣𝑢+𝑣∣≤2,∣𝑢−𝑣∣≤2
𝑑𝑣
=
+∞
−∞
1
8
𝐼
∣𝑢+𝑣∣≤2,∣𝑢−𝑣∣≤2
𝑑𝑣 (|^È©é¡5)
=
1
8
+∞
−∞
𝐼
−2+∣𝑢∣≤𝑣≤2−∣𝑢∣
𝑑𝑣
=
2 − ∣𝑢∣
4
𝐼
∣𝑢∣≤2
.
46
,§2–){1¥@¦Ñ𝐹
𝑋+𝑌
"
))){{{3µ†OŽ𝑋 + 𝑌 VÇ©Ù¼ê
𝐹
𝑋+𝑌
(𝑧) = 𝑃 (𝑋 + 𝑌 ≤ 𝑧)
=
𝑥+𝑦≤𝑧
𝑓
𝑋,𝑌
(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥𝑑𝑦
=
ℝ
2
1 + 𝑥𝑦(𝑥
2
− 𝑦
2
)
4
𝐼
∣𝑥∣≤1,∣𝑦∣≤1,𝑥+𝑦≤𝑧
𝑑𝑥𝑑𝑦
=
1
4
ℝ
2
𝐼
∣𝑥∣≤1,∣𝑦∣≤1,𝑥+𝑦≤𝑧
𝑑𝑥𝑑𝑦 +
ℝ
2
𝑥𝑦(𝑥
2
− 𝑦
2
)
4
𝐼
∣𝑥∣≤1,∣𝑦∣≤1,𝑥+𝑦≤𝑧
𝑑𝑥𝑑𝑦
=
1
4
ℝ
2
𝐼
∣𝑥∣≤1,∣𝑦∣≤1,𝑥+𝑦≤𝑧
𝑑𝑥𝑑𝑦 (þª12‡È©'u(𝑥, 𝑦) 7→ (𝑦, 𝑥)äké¡5)
= 𝐼
−2≤𝑧<0
(𝑧 + 2)
2
8
+ 𝐼
0≤𝑧<2
1 −
(2 − 𝑧)
2
8
+ 𝐼
𝑧≥2
.
ù†cü‡){¦𝐹
𝑋+𝑌
´ƒÓ"
KKK3 𝑋, 𝑌 kéÜVǗݼê𝑓(𝑥, 𝑦) = 𝑐𝑥𝑦£0 ≤ 𝑥 ≤ 𝑦 ≤ 2¤"
1. OŽ~ê𝑐Š¶
2. ©O¦Ñ𝑋, 𝑌 >VǗݼê¶
3. ä𝑋, 𝑌 ´ÄÕá¶
4. é0 < 𝑦 < 2§¦3®•𝑌 = 𝑦^‡e§𝑋^‡VǗݼ꧱9^‡êÆÏ
"𝐸(𝑋∣𝑌 = 𝑦)¶
5. ¦𝐸𝑋, 𝐸𝑌, Var(𝑋), Cov(𝑋, 𝑌 ), Corr(𝑋, 𝑌 )"
)))µk¦𝑌 >VǗݼê
𝑓
𝑌
(𝑦) =
+∞
−∞
𝑓
𝑋,𝑌
(𝑥, 𝑦)𝑑𝑥 =
+∞
−∞
𝑐𝑥𝑦𝐼
0≤𝑥≤𝑦≤𝑥
𝑑𝑥 = 𝐼
0≤𝑦≤2
𝑦
0
𝑐𝑥𝑦𝑑𝑥 =
𝑐𝑦
3
2
𝐼
0≤𝑦≤2
.
2d
1 =
+∞
−∞
𝑓
𝑌
(𝑦)𝑑𝑦 =
2
0
𝑐𝑦
3
2
𝑑𝑦 =
𝑐 × 2
4
8
47
𝑐 = 1/2§Ïd
𝑓
𝑋,𝑌
=
𝑥𝑦
2
𝐼
0≤𝑥≤𝑦≤2
, 𝑓
𝑌
(𝑦) =
𝑦
3
4
𝐼
0≤𝑦≤2
.
𝑋>VǗݼê•
𝑓
𝑋
(𝑥) =
+∞
−∞
𝑓
𝑋,𝑌
(𝑥, 𝑦)𝑑𝑦
=
+∞
−∞
𝑥𝑦
2
𝐼
0≤𝑥≤𝑦≤2
𝑑𝑦
=
𝑥
2
𝐼
0≤𝑥≤2
2
𝑥
𝑦𝑑𝑦
=
𝑥
2
2 −
𝑥
2
2
𝐼
0≤𝑥≤2
=
𝑥(4 − 𝑥
2
)
4
𝐼
0≤𝑥≤2
.
du𝑓
𝑋,𝑌
(𝑥, 𝑦), 𝑓
𝑋
(𝑥), 𝑓
𝑌
(𝑦)3«•
{(𝑥, 𝑦) : 0 < 𝑦 < 𝑥 < 2}
þëY§3d«•þ
𝑓
𝑋,𝑌
(𝑥, 𝑦) = 0 < 𝑓
𝑋
(𝑥)𝑓
𝑌
(𝑦),
¤±𝑋, 𝑌 ØÕá"
,§·‚•Œ±ÏL
𝑃 (𝑋 ∈ (1, 2), 𝑌 ∈ (0, 1)) = 0 < 𝑃 (𝑋 ∈ (1, 2))𝑃 (𝑌 ∈ (0, 1))
5`²𝑋, 𝑌 ØÕá"
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