第15周习题课答案1
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作者：闫浩, 章纪民 2014 年 3 月
1 / 6
微积分 A（2）第十次习题课参考答案（第十五周）
1. 求下列级数的收敛域
(1)
1
2
sin2
n
nn
n
x
； (2)
1
2
)(sin
n
n
nx
；
(3)
n
n
x
n
n
1
200
!
； (4)
xn
n
en
1
!
.
解：（1）
,1,0,
6
kkxRxD
; (2)
,D
(3)
0D
; (4)
D
2．考查下列函数项级数在指定区间上是否一致收敛，并给出证明：
(1)
2
2
ln(1 ),
ln
n
x
x a
n n
；(2)
5 2
1
, ( , )
1
n
nx
x
n x
；(3)
1
sin
)1(
n
n
xn
．
(4)
2
2
ln(1 ), [1, )
ln
n
x
x
n n
（5）
1
1
2 sin , (0, )
3
n
n
n
x
x
(6)
2
2
1
(1 )
n
n
x
x
,
( , )x
（7）
1
n
n
x
n
,
[ 1,0]x
；
(8)
1
1
( 1) ( )
n n
n
n
x n
n
,
[0,1]x
（9）
1
e
nx
n
n
a
[0, )x
其中级数
1
n
n
a
收敛
解：(1) 当
n
充分大时，
nn
a
nn
x
22
ln
2
3
)
ln
1ln(
，且
2
2
ln
n
a
n n
收敛，由 Weierstrass
比较判别法知一致收敛．
(2)
2
3
2
5
2
1
2
1
25
nxn
nx
xn
nx
，且
3
2
1
1
2
n
n
收敛，由 Weierstrass 比较判别法知一致收敛．
(3) 莱布尼茨级数，
nxnxk
p
nk
k
1
sin1
1
sin
)1(
n
1
，故由柯西收敛准则知一致收敛．
（4）设
2
ln
n
x n n
，则
( ) ln2
n n
u x
不趋于 0，故非一致收敛
(5) 设
2
( )
3
n
n
x
，则
( ) 1 0
n n
u x
不趋于 0，故非一致收敛
(6)
2
2
(1 )
n
x
x
连续，
1, 0
( )
0, 0
x
S x
x
不连续，故非一致收敛
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