5
另一方面
bababa
x
a
ba
x
baba
xxx
++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=+=++ L
10
)1()1()1(
,
其中 x
n
的系数为
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
n
ba
,即
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
n
bab
n
a
n
ba
n
ba
0110
L
;
(6)在(5)小题结论中,取 a = b = n,有
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
n
nn
n
n
n
nn
n
nn 2
0110
L
,
再由(1)小题结论,知
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
−
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
rn
n
r
n
,即
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
=
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
++
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
+
⎟
⎟
⎠
⎞
⎜
⎜
⎝
⎛
n
n
n
nnn
2
10
222
L
.
2. 抛三枚硬币,求至少出现一个正面的概率.
解:样本点总数 n = 2
3
= 8,
事件“至少出现一个正面”的对立事件为“三个都是反面”,其所含样本点个数为 1,
即事件“至少出现一个正面”所含样本点个数为 k = 8 − 1 = 7,
故所求概率为
8
7
)( =AP
.
3. 任取两个正整数,求它们的和为偶数的概率.
解:将所有正整数看作两个类“偶数”、“奇数”,样本点总数 n = 2
2
= 4,
事件“两个都是偶数”所含样本点个数为 1,事件“两个都是奇数”所含样本点个数也为 1,
即事件 A =“它们的和为偶数”所含样本点个数 k = 2,
故所求概率为
2
1
4
2
)( ==AP
.
4. 掷两枚骰子,求下列事件的概率:
(1)点数之和为 6;
(2)点数之和不超过 6;
(3)至少有一个 6 点.
解:样本点总数 n = 6
2
= 36.
(1)事件 A
1
=“点数之和为 6”的样本点有
(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1),即个数 k
1
= 5,
故所求概率为
36
5
)(
1
=AP
;
(2)事件 A
2
=“点数之和不超过 6”的样本点有
(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1),
即个数 k
2
= 15,
故所求概率为
12
5
36
15
)(
2
==AP
;
(3)事件 A
3
=“至少有一个 6 点”的样本点有
(1, 6), (6, 1), (2, 6), (6, 2), (3, 6), (6, 3), (4, 6), (6, 4), (5, 6), (6, 5), (6, 6),
即个数 k
3
= 11,
故所求概率为
36
11
)(
3
=AP
.
5. 考虑一元二次方程 x
2
+ Bx + C = 0,其中 B, C 分别是将一颗骰子接连掷两次先后出现的点数,求该方
程有实根的概率 p 和有重根的概率 q.
解:样本点总数 n = 6
2
= 36,
事件 A
1
=“该方程有实根”,即 B
2
− 4C ≥ 0,样本点有
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