概率论与数理统计(茆诗松)第二版课后习题参考答案.pdf

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主要内容包括:随机事件与概率,随机变量及其分布,随机变量的数字特征,统计量及其分布,参数估计,假设检验,方差分析与回归分析等。
证:(1)AB∪AB=A(B∪B)=Ag2=A (2)AUAB=(AUA从A∪B)=92(AUB)=A∪B. 设为一事件域,若An∈,n=1,2,…,试证: (1)∈. (2)有限并∪A∈,n21 (3)有限交∩A∈,n21; (4)可列交∩A∈ 5)差运算A1-A2∈ 证:(1)由事件域定义条件1,知Ω∈,,再由定义条件2,可得恿=g∈.; (2)在定义条件3中,取A+1=Am+2=…=,可得∪A=UA∈ (3)由定义条件2,知A,A,…,A,∈,根据(2)小题结论,可得∪A∈,, 再由定义条件2,知∪A∈,即∩A∈ (4)由定义条件2,知A,A,…A,…∈,,根据定义条件3,可得∪A∈,, 再由定义条件2,知∪A∈,即∩A∈, 5)由定义条件2,知A2∈,罗,根据(3)小题结论,可得A1A2∈,,即A1-A2∈, 习题1.2 对于组合数,证明 P (1) P2- 2 1 0 b 5) n=min fa, b;; 0人n n人0 0 证:(1) n-r)(n-r)[n-(n-r] (n-r)!r!r 2) (-l)+_(-1)=(-1 r+(n-r (r-1)(n-r)!r!( )!r!(n-r)! (3)由二项式展开定理(x+y)”=+,y+…+y”,令x=y=1,得 n (n-1) n 时 = )!(r-1)!·(n-r)!(r-1)!·(n-r) n-1 故,+2+…+n n 0 (5)因(1+x)2=0+,x+…+x°,(+x)2 两式相乘,其中xn的系数为 b +:: atb 另一方面(+x)(1+x)2=(1+x)“b a+b(a+b 0 at b b b ab a+b 其中x"的系数为 即 n 0 1八n-1 月人0 nn1 nn n1 n 2 (6)在(5)小题结论中,取a=b=n,有 十 0n 1儿n-1 几 n n nt P 再由(1)小题结论,知 即 1-5 2.抛三枚硬币,求至少出现一个正面的概率. 解:样本点总数n=23=8, 事件“至少出现一个正面”的对立事件为“三个都是反面”,其所含样本点个数为1, 即事件“至少出现一个正面”所含样本点个数为k=8-1=7, 故所求概率为P(A)= 3.任取两个正整数,求它们的和为偶数的概率 解;将所有正整数看作两个类“偶数”、“奇数”,样本点总数n=2=4, 事件“两个都是偶数”所含样本点个数为1,事件“两个都是奇数”所含样本点个数也为1, 即事件A=“它们的和为偶数”所含样本点个数k=2, 故所求概率为P(A)=二=, 42 4.掷两枚骰子,求下列事件的概率 (1)点数之和为6; (2)点数之和不超过6; (3)至少有一个6点 解:样本点总数n=62=36 (1)事件A1=“点数之和为6”的样本点有(1,5,(2,4),(3,3,(4,2),(5,1),即个数k1=5, 故所求概率为P(A1)= 2)事件A2=“点数之和不超过6”的样本点有 (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(1,S),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,D,(3,2),(3,3),(4,1),(4,2),(5,1), 即个数k2=15 故所求概率为P(A2)==; 3612 (3)事件A3=“至少有一个6点”的样本点有 (1,6),(6,1),(2,6),(6,2),(3,6),(6,3),(4,6),(6,4),(5,6),(6,5),(6,6), 即个数k2=11, 故所求概率为P(A3)= 36 5.考虑一元二次方程x2+Bx+C=0,其中B,C分别是将一颗骰子接连掷两次先后出现的点数,求该方 程有实根的概率p和有重根的概率q 解:样本点总数n=62=36 事件A1=“该方程有实根”即B2-4C≥0,样本点有 (2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2),(4,3)(4,4),(5,1),(5,2),(5,3),(5,4,(5,5),(5,6), (6.1),(6.2),(6,3),(6,4),(6,5),(6,6), 即个数k1=19, k119 故Pn 事件A2=“该方程有重根”,即B2-4C=0,样本点有(2,1),(4,4),即个数k2=2, 故q 6.从一副52张的扑克牌中任取4张,求下列事件的概率 (1)全是黑桃 2)同花: (3)没有两张同一花色 (4)同色 解:样本点总数n 52×51×50×49 =270725, 4×3x2 (1)事件A1=“全是黑桃”所含样本点个数k 13)13×12×11×10 =715, 4×3×2×1 故所求概率为PA4人=-715=0.0026 270725 (2)事件A2=“同花”所含样本点个数k2=4X=4×13×11=2860, 4×3×2×1 故所求概率为P(A2)=28600.0106: 270725 (3)事件A3=“没有两张同一花色”所含样本点个数k3=13×13×13×13=28561 故所求概率为P(A3) 28561 =0.155 270725 26 (4)事件A1=“同色”所含样本点个数k=2×x=2x20 6×25×24×23 29900, 4x3×2×1 故所求概率为P(A1) 29900 =0,1104 270725 7.设9件产品中有2件不合格品.从中不返回地任取2个,求取出的2个中全是合格品、仅有一个合格 品和没有合格品的概率各为多少? 解:样本点总数n 919×8 =36, 2)2×1 7)7×6 21 事件A1=“全是合格品”所含样本点个数k=(2)2= 21,故所求概率为P(A1) 3612 事件A2=仅有一个合格品所含样本点个数k(7Y2 14 7×2=14,故所求概率为P(A2) 3618 事件A3=“没有合格品”所含样本点个数(2/=1,故所求概率为P(A3)= 36 8.口袋中有7个白球、3个黑球,从中任取两个,求取到的两个球颜色相同的概率 解:样本点总数n 0)10×9 45, 2)2×1 事件A=“两个球颜色相同”所含样本点个数k 7×63×2 =24 2)(2)2×12×1 故所求概率为P(A)= 248 4515 9.甲口袋有5个白球、3个黑球,乙口袋有4个白球、6个黑球.从两个口袋中各任取一球,求取到的 两个球颜色相同的概率. 解:样本点总数n=8×10=80, 事件A=“两个球颜色相同”所含样本点个数k=5×4+3×6=38, 3819 故所求概率为P(A) 8040 10.从n个数1,2,…,n中任取2个,问其中一个小于k(1<k<n),另一个大于k的概率是多少? 解:样本点总数N -n(n2 事件A=“其中一个小于k,另一个大于k”所含样本点个数K=(k-1)(n-k), 故所求概率为P(A) 2(k-1)(n-k) 11.口袋中有10个球,分别标有号码1到10,现从中不返回地任取4个,记下取出球的号码,试求: (1)最小号码为5的概率: 2)最大号码为5的概率. 0110×9×8×7 解:样本点总数n 210, 4)4x3×2×1 (1)事件A1=“最小号码为5”所含样本点个数k 5×4x3 3×2x1 故所求概率为P(A1) 21021 (2)事件A2=“最大号码为5”所含样本点个数k2= 4×3×2 33×2×1 故所求概率为P(A2) 210105 12.掷三颗骰了,求以下事件的概率: (1)所得的最大点数小于等于5 2)所得的最大点数等于5 解:样本点总数n=63=216, 1)事件A1=“所得的最大点数小于等于5”所含样本点个数k1=5=125,故所求概率为P(A1)= 12 216 61 (2)事件A2=“所得的最大点数等于5”所含样本点个数k2=53-43=61,故所求概率为P(A2) 216 13.把10本书任意地放在书架上,求其中指定的四本书放在一起的概率 解:样本点总数n=101, 事件A=“其中指定的四本书放在一起”所含样本点个数k=4!×7! 4!×7!4×3×2×11 故所求概率为P(A)=1010×9×8 14.n个人随机地围一圆桌而坐,求甲乙两人相邻而坐的概率 解:样本点总数N=(n-1), 事件A=“甲乙两人相邻而坐”所含样本点个数k=2!×(n-2)!, 故所求概率为P(A)= 2!×(n-2)!2 15.同时掷5枚骰子,试证明: (1)P{每枚都不一样}=0.0926: (2)P(对}=0.4630; (3)P{两对}=0.2315 (4)P{三枚一样}=0.1543(此题有误) (5)P{四枚一样}=0.0193 6)P{五枚一样}=0.0008 解:样本点总数n=65=776, (1)事件“每枚都不一样”所含样本点个数k=A5=6×5×4×3×2=720, 故P{每枚都不一样}= 773 =0.0926; (2)事件“一对”所含样本点个数k2=A·C3·A3=6×,x5×4×3=3600, 故P{对_3600 =04630; 7776 (3)事件“两对”所含样本点个数k=CbC3·C3·A 6×55×43×2 2×12×12×1x4=1800 1800 故P辆两对=776 =0.2315; (4)事件“三枚一样”所含样本点个数k4=A6·C352=6 5×4×3 52=1500 2x1 故P{三枚一样}= 1500 =0.1929 7776 事件“三枚一样且另两枚不一样”所含样本点个数k4=A6C3·A2=6 5×4×3 5×4=1200 3×2×1 1200 故P{三枚一样且另两枚不一样)770.1543 (5)事件“四枚一样”所含样本点个数k=A·C4·A=6 5×4×3×2 x5=150, 4×3×2×1 5 故P四枚一样}==0.0193: 7776 (6)事件“五枚一样”所含样本点个数k=A·C3A5=6×1=6, 故P(五枚一样)1760.0008 16.一个人把六根草紧握在手中,仅露出它们的头和尾.然后随机地把六个头两两相接,六个尾也两两相 接,求放开手后六根草恰巧连成一个环的概率 解:在同一种六个头两两相接情况下,只需考虑六个尾两两相接的样本点总数n=5×3=15, 事件A=“放开手后六根草恰巧连成一个环”所含样本点个数k=4x2=8, 故所求概率为P(A)= 8 15 17.把n个“0”与n个“1”随机地排列,求没有两个“1”连在一起的概率 解:样本点总数N 2n)(2n) n!.n! 事件A=“没有两个‘1’连在一起”所含样本点个数k n =n+1, 故所求概率为P(A)= n!.(n+1) (2n) 18.设10件产品中有2件不合格品,从中任取4件,设其中不合格品数为X,求X的概率分布 角:;样本点总数n≈/10 0×9×8×7 4)4×3×2x1 8Y2)8×7×6×5 事件X=0所含样本点个数k=4人04×3x2x1×1=70, 故所求概率为P{X=0}= 2103 8Y2)8×7 事件x=1所含样本点、13人13×2x/2=12, 1128 故所求概率为PX=l} 21015 事件X=2所含样本点个数k2(82)8x7×1=28, 故所求概率为P{X=2}= 282 21015 19.n个男孩,m个女孩(m≤n+1)随机地排成一排,试求任意两个女孩都不相邻的概率 解:样本点总数N=(n+m)(n+m n!·m! n+1 事件A=“任意两个女孩都不相邻”所含样本点个数k= (n+1)! m!t·(n+1-m)! 故所求概率为P(A) n!.(n+1)! n(n-1)…(n+2-m) (n+m)!.(n+1-m)!(n+m)(n+m-1)…(n+2) 20.将3个球随机放入4个杯子中去,求杯子中球的最大个数X的概率分布 :样本点总数n=43=64, 事件X=1所含样本点个数k1=A4=4×3×2=24, 故所求概率为PX=3 事件X=2所含样本点个数k2=AC2A3=4×3×3=36 故所求概率为P{X=2} 事件X=3所含样本点个数k1=A4=4, 故所求概率为PX=3 16 21.将12只球随意地放入3个盒子中,试求第一个盒子中有3只球的概率 解:样本点总数n=32=531441, 事件A=“第一个盒了中有3只球”所含样本点个数k 3/2-12×11×10512=112640, 3×2×1 故所求概率为P(A)==0.2120 531441 22.将n个完全相同的球(这时也称球是不可辨的)随机地放入N个盒子中,试求: 1)某个指定的盒子中恰好有k个球的概率 2)恰好有m个空盒的概率 (3)某指定的m个盒子中恰好有j个球的概率 解:样本点总数为N取n次的重复组合,即≈/N+n-1)(N+n-1! n n?!.(N-1) (1)事件A1=“某个指定的盒子中恰好有k个球”所含样本点个数为N-1取n-k次的重复组合,即 N-1+(n-k) n N+n-k-2)! k n-k (n-k)!·(N-2)! 故所求概率为P(A) (N+n-k-2)!.m!(N-1)!n(n-1)…(n-k+1)·(N-l) N+n-1).(n-k)!·(N-2)!(N+n-1)(N+n-2)…(N+n-k-1) (2)事件A2=“恰好有m个空盒”所含样木点个数可分两步考虑 首先N选m次的组合,选出m个室盒,而其余N-m个盒中每一个都分别至少有一个球, 其次剩下的n-(N-m)个球任意放入这N-m个盒中,即N-m取n-(N-m次的重复组合, NY n-1 则K NV!(n-1)! (N-m)m!(N-m)(n+m-N)!.(N-m-1)!

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