考研数学思维导图线性代数线代第4讲：向量组-打印版.pdf
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2024-05-14
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线代第4讲：
向量组
具体型向量关系
抽象型向量关系
向量组等价
向量空间[数一]
β与α1,α2,...,αn
α1,α2,...,αn
求极大线性无关组
定义法
用秩
概念
过渡矩阵
坐标变换
建立方程组[α1,α2,...,αn]·[x1,x2,...,xn]^T=β
对[α1,α2,...,αn|β]=[A|β]初等行变换，化阶梯形
讨论秩
r(A)≠r(A|β)
r(A)=r(A|β)=n
r(A)=r(A|β)<n
⇔无解⇔不能表示
⇔唯一解⇔唯一表示法
⇔无穷多解⇔无穷多表示法
题型 含参数
备注
向量个数：未知数个数
向量维数：方程个数
向量个数>向量维数
向量个数=向量维数：用行列式
向量个数<向量维数：讨论秩
必然相关
|α1,α2,...,αn|=0 ⇔线性相关
|α1,α2,...,αn|≠0 ⇔线性无关
对[α1,α2,...,αn]初等行变换，化阶梯形
r(A)<n
r(A)=n
⇔线性相关
⇔线性无关
初等行变换，不改变列向量组的线性相关性（同解，系数相同）
步骤
构造[α1,α2,...,αn]=A
对[α1,α2,...,αn]=A初等行变换，化为阶梯形[β1,β2,...,βn]=B
算出台阶数，按列找出一个秩为r的子矩阵，对应到αi
写定义式k1·α1+k2·α2+...+kn·αn=0
α1,α2,...,αn线性无关⇔[α1,α2,...,αn]·[k1,k2,...,kn]^T=0只有零解⇔k1=k2=...=0
题型 结合基础解系/特征值/正定
可逆矩阵相乘（初等变换），不改变秩
备注
判定
矩阵等价
向量组等价
可双向相互表出
两秩相等r(Ⅰ)=r(Ⅱ)，且可单向表出
三秩相等r(Ⅰ)=r(Ⅱ)=r(Ⅰ|Ⅱ)
要求矩阵【同型】：行数相等，列数相等
A与B等价⇔r(A)=r(B)⇔PAQ=B（P,Q可逆）
要求向量组【同维】：维数相等，个数可以不等
α=a1·ξ1+a2·ξ2+...+an·ξn
ξi基
ai坐标
n维数
[η1,η2,...,ηn]=[ξ1,ξ2,...,ξn]·C
C是由基ξi到基ηi的过渡矩阵
注意是右乘C
[ξ1,ξ2,...,ξn]·x=[η1,η2,...,ηn]·y=[ξ1,ξ2,...,ξn]·C·y
x=C·y是坐标变换公式
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