考研数学思维导图高等数学高数第8讲：无穷级数-打印版.pdf资源-CSDN文库

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高数第7讲：

无穷级数

数项级数

定义与Sn

Σu(n)收敛⇔lim S(n)存在

Σu(n)收敛⇒lim u(n)=0

Σ[u(n+1)-u(n)]收敛⇔lim u(n)存在

判敛法

正项级数，un>=0

有界

找上界

依据：单调有界准则

比较判别法

大的收敛⇒小的收敛

小的发散⇒大的发散

比较判别法的极限形式

lim[u(n)/v(n)]

四个重要尺度

等比级数

p级数

广义p级数

交错p级数

比值法（达朗贝尔）

lim[u(n+1)/u(n)]

<1收敛

>1发散

=1失效

常见

a^n

n!

根值法（柯西）

lim [u(n)]^(1/n)

<1收敛

>1发散

=1失效

常见 a^n

交错级数,un>0 莱布尼兹判别法

lim u(n)=0

u(n)>=u(n+1)

任意项级数，un符号无限制

绝对收敛 Σ|u(n)|收敛

条件收敛 Σ|u(n)|发散，Σu(n)收敛

常用结论

Σu(n)收敛，u(n)>=0

⇒ Σ[u(n)]^2收敛

⇒ Σ[u(n)*u(n+1)]收敛

⇒ Σu(2n-1)，Σu(2n)收敛

Σu(n)收敛

⇒ Σ[u(2n-1)+u(2n)]收敛任意加括号，仍收敛

⇒ Σ[u(n)±u(n+1)]收敛

⇒ Σu(n)±Σu(n+1)收敛

Σ[u(2n-1)+u(2n)]收敛，lim u(n)=0

⇒ Σu(n)收敛

通项趋于0，去括号，仍收敛

Σ|u(n)|收敛 ⇒ Σu(n)收敛

Σ[u(n)]^2收敛 ⇒Σ[u(n)/n]绝对收敛

Σu(n)收敛，Σv(n)收敛

u(n)>=0，v(n)>=0 ⇒ Σ[u(n)*v(n)]收敛

u(n)任意，v(n)>=0 ⇒ Σ[|u(n)|*v(n)]收敛

u(n)任意，v(n)任意 ⇒ Σ[u(n)*v(n)]不一定

幂级数

59

傅里叶级数[数一]

4

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