考研数学思维导图线性代数线代第3讲：线性方程组-打印版.pdf
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2024-05-14
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线代第3讲：
线性方程组
具体型方程组
方程组的求解
齐次方程组Ax=0
系数矩阵，初等行变换，化为阶梯形
只要同解，可以不是阶梯形
非齐次方程组Ax=b
增广矩阵，初等行变换，化为阶梯形
只要同解，可以不是阶梯形
方形：方程个数=未知数个数
|A|≠0⇔方程组有唯一解 克拉默法则
|A|=0⇔方程组有无穷多解或无解
变体 含参数的向量之间的关系
两个方程组的公共解
联立求解
求出一个基解，代入另一个方程组，找关系
求出两个基解，令二者相等，找关系
两个方程组的同解
双向满足（互相把解代入）
两秩相同r(A)=r(B)，且单向满足（一个方程组的解满足另一个方程组）
三秩相同r(A)=r(B)=r([A;B])
抽象型方程组
解的判定
齐次方程组Ax=0
总有解，至少有零解
r(A)=n，只有零解
r(A)<n，有非零解（无穷多解）
非齐次方程组Ax=b
r(A)≠r(A|b)，无解
r(A)=r(A|b)=n，有唯一解
r(A)=r(A|b)<n，有无穷多解
结论
齐次只有零解，则非齐次可能无解/有解
齐次有非零解，则非齐次可能无解/有解
A行满秩，则r(A)=r(A|b)，非齐次必有解
非齐次有唯一解，则r(A)=r(A|b)=A的列数，齐次只有零解
非齐次有无穷多解，则r(A)=r(A|b)<A的列数，齐次有非零解
基础解系
是齐次方程组Ax=0的解
解向量之间线性无关
解向量个数S=n-r(A)
解的结构
齐次方程组Ax=0 通解=k1ξ1+k2ξ2+...+k{n-r}·n{ξn-r}
非齐次方程组Ax=b
通解=k1ξ1+k2ξ2+...+k{n-r}·n{ξn-r}+η
η为Ax=b的一个特解
解和系数的关系：可角色互换
系数矩阵A的行向量和解向量正交
解向量的转置和系数矩阵A的行向量的转置正交
用方程组的解讨论秩
几何意义[数一]
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