线代第1讲:
行列式
行列式的性质
行和列性质相同 A^T=A
行列式为0
某行(列)全为0
某两行(列)对应成比例
提公因数 某行(列)有公因数k,则k可提到行列式外面
初等变换
互换 两行(列)互换,行列式的值反号
倍乘 数乘某个行列式,等于该数乘到某行(列)
倍加 某行(列)的k倍加到另一行(列),行列式的值不变
具体行列式(aij
已给出)计算
化为12+1型行列式
6-化为三角O阵
主对角 =主对角元素连乘积
副对角
=系数*副对角元素连乘积
系数(-1)^[n(n-1)/2]
6-化为矩阵O阵,再分块
主对角 =主对角分块行列式相乘|A|*|B|
副对角
=系数*副对角分块行列式相乘|A|*|B|
系数(-1)^(m*n)
1-范德蒙德 =Π(xj-xi),1<=i<j<=n
加边法
变成n+1阶
添加一行,添加一列
一行(列)为[1,0,0,...,0]^T,一列(行)为任意添加
爪形 将后面各行(列)的某倍加到第1行(列)
递推法
高阶→低阶
找出递推关系
D(n)和D(n-1)要有完全相同的元素分布规律
异爪形(三角+一斜) 按照使三角封闭的一行(列)进行展开
数学归纳法
低阶→高阶
第一类归纳法
第二类数学归纳法
异爪形(三对角)
抽象行列式(aij
未给出)计算
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验证n=1
假设n=k
证明n=k+1
验证n=1,n=2
假设n<k
证明n=k
D(n),D(n-1)
D(n),D(n-1),D(n-2)
余子式Mij和代数余子式Aij
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