考研数学思维导图线性代数线代第6讲：二次型-打印版.pdf资源-CSDN文库

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线代第6讲：

二次型

实对称矩阵的合同

29

二次型正定

27

二次型的概念

二次型的计算

配方法

正交变换法

二次型：二次齐次多项式

标准型：只含平方项的二次型

规范型：只含平方项，且平方项系数为0,1或-1

含平方项

不含平方项

常用场合

矩阵语言

惯性定理

正惯性指数p=标准型中正系数的个数

负惯性指数q=标准型中负系数的个数

p,q唯一

p+q=r(A)=非零特征值的个数

将平方项、所有相关的混合项合并，配成完全平方

x1x2项

令x1=y1+y2,x2=y1-y2,x3=y3

x1x2=y1^2-y2^2

求正惯性指数p，负惯性指数q

判断A的正定性

标准形Λ不唯一，视C而定

思想

步骤

求A的特征值λi

求A对应的特征向量ξi

对特征向量ξi施密特正交化、单位化，化为ηi

正交矩阵Q=[η1,η2,...,ηn]

令x=Qy，则f=x^T·A·x=x^T·Λ·x

用正交矩阵Q对实对称矩阵A进行相似对角化

反求参数，反求A，反求f

A=Q·Λ·Q^T

对实对称矩阵A，必然存在可逆矩阵C，使得C^T·A·C=Λ

对实对称矩阵A，必然存在正交矩阵Q，使得Q^T·A·Q=Λ

f=x^T·A·x

最值问题

几何应用[数一]

特征值排序λ1<=λ2<=...<=λn

特征值排序λ1·x^T·x <= x^T·A·x <= λn·x^T·x

x^T·x=1，则fmin=λ1，fmax=λn

二次曲面f(x1,x2,x3)=1

特征值3正

在正交变换中，x^T·x=y^T·y

特征值2正1负

特征值1正2负

特征值2正1零

特征值1正1负1零

椭球面

单叶双曲面

双叶双曲面

椭圆柱面

双曲柱面

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