东南大学《数值分析》-上机题.pdf

在研究数值分析领域时，经常会遇到需要通过计算机程序来解决的数学问题。东南大学的《数值分析》课程上机题目，设计了三个典型的问题，用以培养和加深学生对数值计算方法的理解和应用能力。这三个问题分别是序列计算、牛顿迭代法和列主元三角分解法，它们分别对应了数值分析中的基本概念和核心思想。 让我们来探讨序列计算问题。在数学分析中，序列的求和是一个基础而又重要的概念。东南大学的上机题要求学生计算给定序列的和SN，同时需要分别从大到小和从小到大两种不同顺序进行计算，并使用MATLAB编程来完成这一任务。通过这样的实验，学生可以直观地观察到顺序对计算精度的影响。实验结果显示，在从大到小的顺序计算时，由于“大数吃小数”的现象，即较大数位的误差会影响到较小数位的准确性，计算结果的有效位数减少，误差较大。相反，从小到大的顺序计算时，由于最后加入的是较小的数，它对前面数位的准确性影响较小，因此可以更好地保持计算精度，结果更接近于精确值。 接下来，我们来看牛顿迭代法。这是一种求解方程根的数值方法，它通过迭代的方式逐渐逼近方程的根。该方法的核心是迭代公式x(k+1)=x(k)-f(x(k))/f'(x(k))，它需要一个初始值x0，并通过不断迭代直至满足容许误差ε。在《数值分析》的上机题中，要求解决方程f(x)=x^3/3-x=0。学生需要通过编程来观察不同初始值x0和容许误差ε下的收敛性。实验表明，牛顿法具有局部收敛性，也就是说对于不同的初始值x0，牛顿序列会收敛于不同的根。例如，在区间(-∞，-1)内收敛于-3，在区间(-0.774，0.774)内收敛于0，在区间(1，+∞)内收敛于3。在区间(0.774，1)和(-1，0.774)内，收敛性则取决于具体的初始值，可能会收敛于-3或3。这提示我们在实际应用中，需要根据问题的具体情况选择合适的初始值。 列主元三角分解法是处理线性方程组的一种有效策略。在东南大学的上机题目中，学生需要使用该方法来解决线性方程组Ax=b。此方法通过一系列行变换将矩阵A转化为上三角矩阵，从而简化求解线性方程组的过程。在具体实现时，为了保证计算的准确性，结果需要保留五位有效数。列主元三角分解法在处理大型线性系统时，由于其稳定性，常常优于直接求逆的方法。这一部分的学习不仅让学生掌握了具体算法，还帮助他们理解了在不同情况下选择合适解法的重要性。 东南大学《数值分析》课程的上机题目，通过序列计算、牛顿迭代法和列主元三角分解法三个方面的实际编程操作，使学生深刻理解了数值分析在实际应用中的价值和作用。通过观察不同计算顺序对精度的影响、探究牛顿迭代法的局部收敛性以及体验列主元三角分解法的高效稳定性，学生能够将理论知识与实际操作相结合，培养了分析问题和解决问题的能力。这一系列的学习过程对于学生在后续学习及工作中遇到的数值计算问题，无疑具有重要的指导意义。