东南大学《数值分析》-上机题.pdf

《数值分析》上机题主要涉及三个方面：序列的计算、牛顿迭代法和列主元三角分解法。这些是数值分析中的基础概念，用于解决实际问题中的数学计算和方程求解。 1. 序列计算： 题目要求计算序列SN，其中SN表示从大到小和从小到大两种顺序下的和。对于给定的序列，计算过程通过编程实现，这里使用了MATLAB语言。通过程序，我们可以看到两种不同顺序下SN的计算结果，以及它们与精确值的比较。这揭示了数值计算中的一个重要概念——顺序影响计算精度。在从大到小的顺序中，由于“大数吃小数”的现象，计算结果的有效位数减少，误差较大。而从小到大的顺序则能更好地保持精度，与精确值更接近。 2. 牛顿迭代法： 牛顿迭代法是一种求解方程根的数值方法，其核心在于迭代公式x(k+1)=x(k)-f(x(k))/f'(x(k))。题目要求编写程序解决f(x)=x^3/3-x=0的方程。通过调整初始值x0和设置容许误差ε，观察不同区间内的收敛性。结果显示，对于不同的x0，牛顿序列会收敛于不同的根，这体现了牛顿法的局部收敛性。在(-∞，-1)内收敛于-3，在(-0.774，0.774)内收敛于0，在(1，+∞)内收敛于3，而在(0.774，1)和(-1，0.774)内可能收敛于-3或3。这提示我们在实际应用中选择合适的初始值至关重要。 3. 列主元三角分解法： 列主元三角分解法是求解线性方程组Ax=b的一种策略，它通过变换将矩阵A转化为上三角矩阵，简化求解过程。编程实现该方法并应用到具体线性方程组RI=V中，解出向量I，并保留五位有效数。这种方法在处理大型线性系统时，由于其稳定性，往往优于直接求逆。 通过这三个上机题，我们不仅学习了数值计算的基本方法，还理解了顺序对计算精度的影响、牛顿迭代法的收敛性和列主元三角分解法的应用。这些知识对于理解和解决实际问题中的数值计算问题具有重要意义。