数值分析第四版习题及答案(20181227).pdf

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数值分析第四版的习题和答案,是考试和自学的首要选择!!!!!
∑Ag4=fgn-B。-∑g44 12.证明=0 ∑△2y,=4n-△y 13.证明 14.若f(x)=a0+ax+…+a1x+anx有n个不同实根x,x2”,x证明 x ∑ 0≤k≤n-2 sf() 15.证明n阶均差有下列性质 0若F(x)=f(x)则F[xx…,x】=xx,x] 若F(x)=f(x)+g(x)则f[xx,…x]=[x,…,x】+g[xx…,x 16.f(x)=x+x+3x+1求 21……,2 及 17.证明两点三次埃尔米特插值余项是 R(x)=f“(2)x-x)2(x-x1)2/4,∈(x4,x) 并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限 18.求一个次数不高于4次的多项式P(x)使它满足P(0)=P(-k+)并由此求出分段三次 埃尔米特插值的误差限 19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式P(x),以便使它能够满足以下边界条件 P(0)=P(0)=0P()=P(1)=1P(2)=1 20.设f(x)∈Cla,把分为等分试构造一个台阶形的零次分段插值函数9(x) 并证明当n→时,9(x)在b 上一致收敛到 f(x) 21.设/(x)=1+x),在-55x5上取n=10,按等距节点求分段线性插值函数(), 计算各节点间中点处的4(x)与f(x)的值并估计误差 2.求(x)=x在a,b上的分段线性插值函数l(),并估计误差 23.求J(x)=x在上的分段埃尔米特插值并估计误差 24.给定数据表如下: 0.25 0.30 0.39 0.45 0.53 0.5000 0.5477 0.6245 0.6708 0.7280 试求三次样条插值S(x)并满足条件 S'(0.25)=1.0000,S(0.53)=0.6868 i)"(0.25)="(0.53)=0. 25.若f(x)∈C[ab]s(x)是三次样条函数证明 i)若f(x)=S(x)(=0,…,n),式中耳为插值节点,且=x<x<…<x=b ∫soxDr(-st=S(b)r-s6)]-sar(a-sao 26.编出计算三次样条函数S(x)系数及其在插值节点中点的值的程序框图(S(x)可用(7) 式的表达式) 第三章函数逼近与计算 1.(0)利用区间变换推出区间为b的伯恩斯坦多项式 对f(x)=sinx在Dx/2上求1次和三次伯愿斯坦多项式并画出图形并与相应的 马克劳林级数部分和误差做比较. 2.求证 a)当msf(x)≤M时,msB(,x)≤M (b)当f(x)=x时Bn(,x)=x 在次数不超过6的多项式中求 sin 4x 0.2丌 在 的最佳一致逼近多项式 4.假设(x)在[a,b] 上连续求f(x)的零次最佳一致逼近多项式 max 5.选取常数口,使rs 达到极小,又问这个解是否唯一? 6.求f(x)=sinx在x/2]上的最佳一次通近多项式并估计误差 7.求f(x)=e在0上的最佳一次逼近多项式 8.如何选取厂使p(x)=x2+在(-上与零偏差最小?是否唯一? 9.设f(x)=x2+3x2-1,在0上求三次最佳逼近多项式 10.令 7(x)=7(2x-1)x∈Q求(x)可(x(x(x) 11试证((4以 是在上带权Vx-x的正交多项式 12.d]上利用插值极小化求1/f(x)=g2x的三次近似最佳通近多项式 13设f(x)=c在-11上的插值极小化近似最佳逼近多项式为L(x)若一L有界 证明对任何n21存在常数、阝。,使 anl7n(x)|s|f(x)-L2(x)≤Bn|n(x)(-1≤x≤1) 14.设在-1,,q(x)=1-x-x23 15 165 上 243843840,试将叫x)降低到3次多 项式并估计误差 在11上利用幂级数项数求f(x)=simx的3次逼近多项式使误差不超过05 16f(x)[-a,a上的连续奇偶)函数证明不管n是奇数或偶数,∫(x)的最佳逼近多项式 Fm(x)∈H n也是奇(偶)函数 17.求a、b使 ax+b-sinxidx 为最小并与1题及6题的一次逼近多项式误差作比较 18.f(x)、g(x)∈eC[a,定义 (a)(, g)=f(x)g'(r)dr; (b)(, g)=f(x)g'(r)dx+f(a)g(a); 问它们是否构成内积? 19.用许瓦兹不等式(45)估计1+x的上界并用积分中值定理估计同一积分的上下界 并比较其结果 (x-ax2)2d, 20.选择a,使下列积分取得最小值:-1 21.设空间 p,=span(L x), 2=span(r1, on ,分别在q、甲2上求出一个元素使得其为 x∈CI0 的最佳平方逼近并比较其结果 2f(x)=1在[1 上求在=9m{,x2,x 上的最佳平方逼近 sin[(n+1)arccos x] 23. 是第二类切比雪夫多项式证明它有递推关系 x)=2x f(r)=sinx 24. 将 在 -1 上按勒让德多项式及切比雪夫多项式展开求三次最佳平方逼 近多项式并画出误差图形,再计算均方误差 25.把/(x)= arccos.x在] 上展成切比雪夫级数 26.用最小二乘法求一个形如y=a+bx的经验公式使它与下列数据拟合并求均方误差 19 31 19.0 32.3 49.0 73.3 97.8 27.观测物体的直线运动得出以下数据 时间(秒)009 1.9 距离(米)o1030 so o so 求运动方程 28.在某化学反应里,根据实验所得分解物的浓度与时间关系如下: 时间 1015|20 25 30 35 40 45 50 55 浓度01.272.162.863443.874154374514.584.62464 用最小二乘拟合求y=f() 29.编出用正交多项式做最小二乘拟合的程序框图 30.编出改进FFT算法的程序框图 31现给出一张记录{x}=42.0.,23试用改进H算法求出序列{x}的离胶频谱 c}(k=0 第四章数值积分与数值微分 确定下列求积公式中的待定参数,使其代数精度尽量高并指明所构造出的求积公式所具 有的代数精度 f(r)dx =,(h)+Af(o)+Af(h) f(rxx s Af(h)+Af(O)+A f(h) xx≈[f(-1)+2f(x)+3/f(x2)]/3 f(x)s[()+f(m1+[o-f(的 2.分别用梯形公式和辛普森公式计算下列积分: dx.n=8 (1-e-2)2 -dx.n=10 4 cdx.n=4 sin dx n=6 3.直接验证柯特斯公式(24)具有5次代数精度 4.用辛普森公式求积分 并计算误差 5.推导下列三种矩形求积公式: f(rkr=(b-af(a) b-a) 2 f(r)dx=(b-af(b) -/'(n(b 2 a fOrex=(b-a)f()+ b 2 2 梯形公式(29和辛普森公式(2.1)当n→时收敛到积分(x 7.用复化梯形公式求积分 问要将积分区间6 分成多少等分才能保证误差不 超过E(设不计舍入误差)? 2 8.用龙贝格方法计算积分Vr 要求误差不超过10 1-()'sin'Ade 9.卫星轨道是一个椭圆,椭圆周长的计算公式是 ,这里a是椭圆 的半长轴C是地球中心与轨道中心(椭圆中心)的距离记h为近地点距离,H为远地点距 离,R=6371公里为地球半径,则4=(2R+H+h)2,C=(H-h)2.我国第一颗人造 卫星近地点距离h=439公里远地点距离H=2384公里试求卫星轨道的周长 nsn一= 10.证明等式 3!n25!n试依据nsin(x/n)(n=36,12)的值用外推算 法求丌的近似值 11.用下列方法计算积分”y并比较结果 (1)龙贝格方法; (2)三点及五点高斯公式; (3)将积分区间分为四等分,用复化两点高斯公式 f(x)= 12.用三点公式和五点公式分别求 (1+x)在x=1.0,11和12处的导数值并估计误 差f(x)的值由下表给出 x L0 12 13 l.4 0.2500 0.2268 0.2066 0.1890 0.1736 第五章常微分方程数值解法 1.就初值问题y=ax+b,y(0)=0分别导出尤拉方法和改进的尤拉方法的近似解的表达 y=-ax"+bx 式,并与准确解2 相比较。 2.用改进的尤拉方法解初值问题 x+y0<x<1; (0)=1, 取步长h=0计算,并与准确解y=-x-1+2相比较 3.用改进的尤拉方法解 x tx-y (0)=0, 取步长h=01计算(0.5),并与准确解y=-≠x2-x+1相比较 4.用梯形方法解初值问题 y+y=0 0)=1, 证明其近似解为 2+h 并证明当h→0时,它原初值问题的准确解y=e 5.利用尤拉方法计算积分 在点x=0.511.52的近似值 6.取h=0.2,用四阶经典的龙格一库塔方法求解下列初值问题: y=x+y0<x<1 1)vO)=1, y=3y/1+x)0<x<k 2) y(0)=1 7.证明对任意参数t,下列龙格一库塔公式是二阶的: yn+(K2+K3) K=f(r,, y,); K2 =f(r+th, ym +thK); K,=f(r,+(1-th, y,+(-thk,. 8.证明下列两种龙格一库塔方法是三阶的: h ynt=yn+元(K1+3K3) f(r,, yu); h-32 y+K1); 2 K,=f(x,+5h,y,+5hK2); yn=yn+(2K1+3K2+4K,) f(xm, y) K,=f(.+ h-2 K1); K3=f(xn+元h,yn+元hk2) 2) 9.分别用二阶显式亚当姆斯方法和二阶隐式亚当姆斯方法解下列初值问题 l-y,y(0)=0, 取h=02y0=0.=0.181,计算y(1.0)并与准确解y=1-∈”相比较。 10.证明解y"=f(x,y)的下列差分公式 y-22+y-)+(4ymn-y+3y) 是二阶的,并求出截断误差的首项 11.导出具有下列形式的三阶方法: aoy,+a,ym+a,y -2+ h(boy +b,y -+b,yn -) 12.将下列方程化为一阶方程组: 3y+2y=0 1)y(0)=1,y(0)=1 01(1-y2)y+y=0 2)y(0)=1y(0)=0 3) x(0)=0.4,x(0)=0,y(0)=0,y(0)=2 13.取h=025,用差分方法解边值问题 +v=0 v(0)=0,y(1)=1.68 14.对方程y”=f(x,y)可建立差分公式 ym+1=2y,-ym-+h'f(rn, yn). 试用这一公式求解初值问题 l; y(O)=y(1)=0 验证计算解恒等于准确解 15.取h=0.2用差分方法解边值问题 j(+x)y2-x-3y=6x-3 y(0)-y(0)=1,y(1)=2. 第六章方程求根 1.用二分法求方程x2-x-1=0的正根,要求误差<005 2.用比例求根法求f(x)=1- xsin x=0 在区间[O,1]内的一个根,直到近似根满足精度 f(x4)k0.005 时终止计算。 3.为求方程x2-x2-1=0在0=15附近的一个根,设将方程改写成下列等价形式,并 建立相应的迭代公式。 1)x=1+1/x2,迭代公式x=1+1/x 2)x2=1+x2,选代公式=边+x x-1,选代公式+=11x 试分析每种迭代公式的收敛性,并选取一种公式求出具有四位有效数字的近似根。 4.比较求e+10x-2=0的根到三位小数所需的计算量: 1)在区间[0,1]内用二分法 2)用迭代法x=(2-e“)/10 ,取初值x=0 5.给定函数f(x),设对一切xf(x)存在且0<m≤f(x)sM,证明对于范围内 0<2<2/M的任意定数入,选代过程x=x-列(x)均收敛于f(x)的根x 6.已知x=(x)在区间b]内只有一根,而当欲xb时, lq(x)≥k>1 试问如何将x=(x)化为适于迭代的形式? 将x=gx化为适于迭代的形式,并求x=4.5(弧度)附近的根。 7.用下列方法求f(x)=x2-3x-1=0在=2附近的根。根的准确值x 1.87938524,要求计算结果准确到四位有效数字。 1)用牛顿法 2)用弦截法,取x=1x=1.9 3)用抛物线法,取=1,x=3,x2=2 8.用二分法和牛顿法求-gx=0的最小正根。 9.研究求va的牛顿公式 r k ),x0>0, 证明对一切k=12,…,之小a且序列x1,x2,“是递减的。 10.对于f(x)=0的牛顿公式xn=x-f(x)f(x),证明 (r -xu)/(a 收敛到f(x)(2f(x),这里x为f(x)=0的根。 11.试就下列函数讨论牛顿法的收敛性和收敛速度: ,x≥0, f(r) v-r.x< 0, x2,x≥0 f(x)= √x2,x<0 12.应用牛顿法于方程x2-a=0,导出求立方根a的迭代公式,并讨论其收敛性。 13.应用牛顿法于方程 ,导出求va的迭代公式,并用此公式求v1的 值 14.应用牛顿法于方程f(x)=x”-a=0f(x)=1-a 0 ,分别导出求a的迭代公 式,并求 lim(Va-xhD/a-x)2. 15.证明迭代公式 (x-+3a) xk+1= 3x2+a 是计算va的三阶方法。假定初值0充分靠近根x,求 im(a-x1)/(√a-x)3. 第七章解线性方程组的直接方法 考虑方程组: 0.4096x1+0.1234x,+0.3678x2+0.2943x4=0.4043; 0.2246x1+0.3872x,+0.4015x1+0.1129x4=0.1550 0.3645x1+0.1920x2+0.3781x3+0.0643x4=0.4240 0.1784x1+0.4002x2+0.2786x3+0.3927x4=-0.2557; (a)用高斯消去法解此方程组(用四位小数计算), (b)用列主元消去法解上述方程组并且与(a)比较结果。 2(a)设A是对称阵且“1≠0,经过高斯消去法一步后,A约化为

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