东南大学数值分析上机报告完整版概要.pdf

这篇数值分析上机实验报告主要涉及了数值计算中的两个核心概念：舍入误差和有效数，以及Newton迭代法。在实际计算中，由于计算机存储和运算的限制，我们无法得到完全精确的结果，而是存在一定的误差，这便是舍入误差。有效数则是用来描述数值精度的概念，它指的是一个数在表示时能被信赖的数字个数。 在第一章“舍入误差及有效数”中，实验通过计算序列$S_N = \sum_{j=2}^{N} \frac{1}{j(j-1)}$来探讨不同顺序相加对结果的影响。从大到小和从小到大两种顺序的累加程序分别被编写，然后比较它们的误差。例如，当$N=100$时，从小到大顺序累加的误差明显小于从大到小的误差，随着$N$的增大，从大到小的误差逐渐增加，显示出计算顺序对结果精度的显著影响。这揭示了数值计算中的病态问题，即某些计算方法可能导致结果的不稳定性。 第二章“Newton迭代法”是求解方程$f(x)=0$的一种数值方法。该法利用函数$f(x)$及其导数$f'(x)$构造迭代公式$x_{n+1}=x_n - \frac{f(x_n)}{f'(x_n)}$，以期望快速接近根。实验中，选取了方程$f(x)=x^3-x=0$作为例子，这个方程有三个根$x_1=-1$, $x_2=0$, $x_3=1$。通过选取不同的初始值$x_0$，观察Newton迭代序列的收敛性，可以发现迭代序列在特定区间内收敛于对应的根，并讨论了局部收敛性，即在每个根的邻域内，如果初始值选择适当，Newton迭代法将收敛于该根。 通过这两个章节的实验，学生能够深入理解数值计算中的误差控制和迭代算法的运用，了解到计算顺序对结果精度的影响，以及如何通过迭代方法逼近函数零点。这对于理解和应用数值方法解决实际问题至关重要，特别是在处理大型线性代数方程组、非线性方程和优化问题时。同时，这也强调了在编程实现这些算法时，选择合适的方法和策略以减少误差和提高计算效率的重要性。 这篇数值分析上机报告详细探讨了数值计算中的基本概念和方法，对于理解计算机科学特别是数值计算领域的知识有着重要价值。在实际操作中，掌握这些理论和技巧可以帮助我们更有效地解决复杂的数学问题。