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数值分析上机作业代码及报告

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数值分析上机作业代码及报告

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数值分析上机实验报告

零. 目录

一.舍入误差与有效数；

二.Newton 迭代法；

三.列主元 Guass 消去法

四.逐次超松弛迭代法

五.3 次样条插值函数

六.重积分的计算

七.常微分方程初值问题数值解

一. 舍入误差与有效数。

1.1 题目

设 ,其精确值为。

（1）编制按从大到小的顺序 ,计算的通用程序；

（2）编制按从小到大的顺序 ,计算的通用程序；

（3）按两种顺序分别计算 , , ,并指出有效位数（编制程序时用单精度）；

（4）通过本上机题你明白了什么？

1.2 代码及输出结果

%矩阵 A 存放计算结果，便于比较.

format long

A=[ S(10^2) S(10^4) S(10^6) %精确计算

S1(10^2) S1(10^4) S1(10^6); %从大到小

S2(10^2) S2(10^4) S2(10^6) %从小到大

];

%输出计算结果

disp(A);

0.7400495 0.7499000 0.7499990

0.7400495 0.7498521 0.7498521

0.7400495 0.7499000 0.7499990

function S = S(n) %计算近似精确值

S = single((3/2-1/n-1/(n+1))/2);

end

function S = S1(n) %从大到小计算

S=single(0);

for i = 2:n

S = S + 1/(i^2-1);

end

function S = S2(n) %从小到大计算

S=single(0);

for i = n:-1:2

S = S + 1/(i^2-1);

end

1.3 结果分析与解答

以函数 S 计算的结果作为精确值，列出 S1（从大到小计算），S2（从小到大计算）计算结果的有效位数表：

由表看出，从小到大计算得出的结果有效数字位数多于从大到小计算的。原因是：从大到小计算过程中容易出现

“大数吃小数”的现象，从而使得最终结果有效数字位数偏少。通过本上机题，我在实践中体会到了“大数吃小数”带

来的运算的误差，今后在用计算机计算一列数字相加时，尽量将这列数字先按从小到大排序再进行计算！

二. Newton 迭代法

2.1 题目

（1）给定初值及容许误差，编制 Newton 法解方程根的通用程序。

（2）给定方程 ,易知其有三个根。

①由 Newton 方法的局部收敛性可知存在 ,当时 Newton 迭代序列收敛于根，试确定尽可能大

的；

②试取若干初始值，观察当

时 Newton 迭代序列是否收敛以及收敛于

哪一个根。

（3）通过本上机题，你明白了什么？

2.2 通用程序

2.2.1 Newton 迭代法

文件: NewtonIterate.m

function NewtonIterate(x_0)

%迭代格式中的函数 g(x)

g = @(x)x - (x^3/3 - x)/(x^2 - 1);

%设置最大迭代次数 N

N = 50;

%设置精度

eps = 1e-5;

%设置迭代初值

x0 = x_0;

%初始化循环控制变量

eror = 1;

n = 0;

while eror>eps && n < N

x = g(x0);

eror = abs(x-x0);

x0 = x;

n = n+1;

fprintf('%f,%f',n,x)

end

disp(['Times: ',num2str(n)]) %迭代总次数

disp(['Result: ',num2str(x)]); %近似根

disp(['Eror= ',num2str(eror)]); %误差

end

2.2.2 寻找

问题分析：是奇函数，故可以只在上搜寻,又因为在无零点，

在定号，所以确定搜索区间为。

文件: Search.m

%迭代格式中的函数 g(x)

g = @(x)x - (x^3/3 - x)/(x^2 - 1);

iters = 20; %最大迭代次数

eps = 1e-5; %最小精度

step = 10^-5; %搜寻步长

for i = 0:step:1 %以 step 为步长在（0，1）搜寻

x0 = i; %迭代初值

iter = 1;eror = 1; %初始化循环控制变量

%牛顿迭代开始

while eror>eps&&iter<iters

x = g(x0);

eror = abs(x-x0);

x0 = x;

iter = iter+1;

end

%牛顿迭代结束

if iter == iters

delta = i-step; %取得满足条件的最大的 delta

break; %达到最大迭代次数仍未满足精度要求则退出 for 循环

end

disp(['搜寻结果：delta=',num2str(delta)]);

2.3 程序运行结果、分析与解答

2.3.1（2）①

运行 Search.m

搜寻结果：delta=0.77461

所以在上 Newton 迭代序列收敛于

2.3.2（2）②

（1），取。

NewtonIterate(-1000);

1,-666.667333

2,-444.445889

3,-296.298759

4,-197.534756

5,-131.693212

6,-87.800538

7,-58.541286

8,-39.038915

9,-26.043032

10,-17.387658

11,-11.630240

12,-7.811242

13,-5.294264

14,-3.660091

15,-2.636899

16,-2.053223

17,-1.794478

18,-1.735164

19,-1.732059

20,-1.732051

Times: 20

Result: -1.7321

Eror= 8.3598e-06

NewtonIterate(-100);

1,-66.673334

2,-44.458891

3,-29.654263

4,-19.792016

5,-13.228447

6,-8.869651

7,-5.989231

8,-4.107324

9,-2.910755

10,-2.200189

11,-1.848687

12,-1.742235

13,-1.732139

14,-1.732051

15,-1.732051

Times: 15

Result: -1.7321

Eror= 6.7974e-09

NewtonIterate(-10);

1,-6.734007

2,-4.590570

3,-3.212840

4,-2.371653

5,-1.922981

6,-1.757175

7,-1.732580

8,-1.732051

9,-1.732051

Times: 9

Result: -1.7321

Eror= 2.4196e-07

由此可见在

，迭代序列收敛，收敛于-1.7321。

（2），取。

NewtonIterate(-0.9);

1,2.557895

2,2.012915

3,1.781662

4,1.734049

5,1.732054

6,1.732051

Times: 6

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