东南大学数值分析上机报告完整版概要.docx

【数值分析】是数学的一个分支，它主要研究如何用数值计算方法近似解决数学问题，特别是在实际应用中遇到的复杂数学模型。在计算机科学和工程领域，数值分析是必不可少的工具，因为它提供了处理实际数据的有效手段。 【舍入误差及有效数】在数值计算中，由于计算机存储和计算的限制，所有计算都存在舍入误差。有效数字是指在数字表示中决定其精度的那些数字，通常不包括前导零。在章节1中，讨论了两种不同顺序计算级数和的情况，即从大到小和从小到大的顺序。通过比较两种方法的结果，可以观察到舍入误差对计算的影响。例如，当N值增大时，从大到小相加的误差也逐渐增大，显示出这种顺序可能引发数值不稳定，而从小到大相加则保持较高的精度。 【Newton 迭代法】是求解方程f(x) = 0的一种数值方法，它依赖于函数f和它的导数f'。在章节2中，我们看到Newton迭代法的实现和应用。确定初始值和容许误差，然后迭代求解方程的根。对于具有多个根的方程，Newton迭代法的收敛性取决于初始猜测值的选择。在本例中，方程f(x) = x^3/3 - x有三个根，通过选取不同的初始值，可以观察到Newton迭代序列收敛于哪个根，同时也考察了δ的选取对局部收敛性的影响。 【线性代数方程组数值解法】在数值分析中，解决线性代数方程组是常见的任务。列主元Gauss消去法和逐次超松弛迭代法是两种不同的解法。列主元Gauss消去法通过选择最大绝对值的元素作为主元，减少计算过程中的舍入误差，提高稳定性。逐次超松弛迭代法则是一种迭代法，适用于大型稀疏矩阵，通过迭代逐步接近解，节省计算资源。 【多项式插值与函数最佳逼近】这部分内容涉及了用多项式来近似复杂函数的技术，如Lagrange插值和 Hermite插值等。这些方法在数据拟合、数值积分和函数估计等领域有着广泛应用。函数最佳逼近则是寻找一个多项式，使得它在给定区间内的误差最小。 数值分析涉及到计算机科学、工程和数学的交叉领域，通过理解和掌握这些知识点，我们可以更有效地处理现实世界中的复杂计算问题。在进行数值计算时，了解舍入误差、选择合适的数值解法以及优化算法是至关重要的，这有助于提高计算的精度和效率。