东南大学数值分析-上机题.docx

【数值分析】是数学的一个分支，主要研究如何用数值方法近似解决数学问题，特别是复杂的微积分和偏微分方程问题。上机题主要涉及数值计算中的序列求和、牛顿迭代法以及线性方程组的解法。 1. **序列求和**： - 在题目中，要求计算级数`∑1/(n^2-1)`，从大到小和从小到大的顺序。使用MATLAB编程实现这一过程，可以看到不同的排序方式对结果的影响。在单精度浮点数运算中，由于"大数吃小数"现象，从大到小的顺序计算可能导致较大误差，有效位数减少。而从小到大的顺序计算则更接近准确值，这是因为避免了较大数值的连续相加导致的精度损失。 2. **牛顿迭代法**： - 牛顿迭代法是一种求解方程根的数值方法，基于函数的切线近似。在问题2中，通过迭代寻找三次方程`f(x) = x^3 - x`的根。程序展示了如何设置初始值和容许误差，以及如何调整迭代直到达到预设的精度。对于不同初始值，牛顿迭代法可能会收敛到不同的根，这体现了局部收敛性的特点。在给定的区间内，迭代序列会收敛到方程的不同根，这需要合理选择初始猜测值以找到期望的根。 3. **列主元三角分解法**： - 列主元三角分解法是求解线性方程组的一种方法，它将系数矩阵A分解为L和U两个矩阵，其中L是下三角矩阵，U是上三角矩阵，且两者乘积等于A。这种方法适用于处理大型稀疏矩阵，可以提高计算效率。在问题3中，需要编写MATLAB程序来实现这一过程，并用于解实际的电路分析问题，输出解向量并保留五位有效数字。 这些上机题旨在让学生熟悉数值计算中的基本方法，理解数值稳定性、精度控制和算法选择的重要性，同时提升编程技能，包括迭代控制、误差判断以及矩阵操作等。通过实践，学生可以深入理解数值分析中的理论知识，并将其应用于实际问题的求解。