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拟合算法-基于卫星高度计海面高度异常资料获取潮汐调和常数方法及应用 (6).pdf
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拟合算法-基于卫星高度计海面高度异常资料获取潮汐调和常数方法及应用 (6).pdf
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1
“华为杯”第十五届中国研究生
数学建模竞赛
题 目 基于卫星高度计海面高度异常资料
获取潮汐调和常数方法及应用
摘要:
对于问题一:首先建立了正确的潮汐调和常数的调和分析模型,可求得不同
时间下各分潮的角速度、交点因子、交点订正角和天文初相角等模型参数。然后,
利用最小二乘法求解得到了各分潮的振幅和迟角两个调和常数。除基于题目要求
的 M
2
、S
2
、K
1
、O
1
四个主分潮求得其潮汐调和常数外,还基于 9 个(M
2
、S
2
、
K
1
、O
1
、K
2
、N
2
、P
1
、Q
1
、S
a
)、 21 个分潮求得了更多分潮的潮汐调和常数。最
后,采用两种方法对求解结果进行了评价检验:一是将 9 个分潮的调和常数与验
潮点数据以散点图的形式绘图,用图形颜色和图形大小表示调和常数的大小,直
观地验证求解结果。对比表明,求解得到的 9 个分潮的振幅和迟角均与验潮点数
据一致。二是针对每个验潮点,求得与其距离最近的一个星下观测点,计算该观
测点的求解结果与验潮点数据的误差,用于评价计算结果。结果表明,主分潮 M
2
的振幅平均误差在 0.3 米以内,表征迟角误差的矢量差
值在 0.51 米以内;除
了主要的 M
2
分潮外,其它 8 个分潮的振幅平均误差均在 0.11 米以内,
值在
0.21 米以内。另外,本文发现在 4、9 和 21 个分潮的求解结果中,M
2
、S
2
、K
1
、
O
1
四个主分潮的调和常数差异不大,说明分潮个数对 4 个主分潮的计算结果影
响不大;但同时发现,基于 9 个和 21 个分潮的计算结果误差比基于 4 个分潮的
结果误差要小,而基于 9 个分潮的计算结果误差与基于 21 个分潮计算结果的误
差较为接近。因此在后续研究中,主要基于 4 个和 9 个分潮进行模型求解。
对于问题二:首先,建立了多项式拟合分离正压潮和内潮信号的数学模型,
并利用 11 阶多项式进行拟合求解。讨论了待拟合参数的选取,分析了直接对振
幅 H 和迟角 G 进行多项式拟合可能带来的问题。然后,对
cosHG
、
sinHG
分
别进行沿轨多项式拟合,成功分离了正压潮和内潮,并分别得到调和常数。除题
目要求的 M
2
、S
2
、K
1
、O
1
四个主分潮外,本文还分离了另外 5 个分潮的正压潮
和内潮。最后,本文以散点图的形式绘图,直观地呈现了分离结果。从作图结果
2
可知,正压潮为缓慢变化的成分,而内潮为快速变化的成分,该结果与理论一致。
由计算结果可知,该模型具有很好的正压潮与内潮的分离效果,绝大多数的内潮
振幅值在 1cm 以内,与参考文献的结论高度一致。
对于问题三:采用了基于坐标系变换的多项式拟合模型和基于三角剖分的
自然邻近插值、线性插值模型等三种模型完成了各分潮同潮图绘制。在基于坐标
系变换的多项式拟合模型中,首先通过拉伸和旋转进行坐标系变换,将星下观测
点的轨道转换为与坐标轴平行或者垂直。然后,在新的坐标系下,利用与待拟合
点横纵坐标相同的观测点数据,进行多项式拟合,再将新坐标反转换。该模型与
直接拟合法相比,大大减小空间几何运算的复杂程度。利用拟合结果,作出同潮
图可知,拟合得到的振幅和迟角较为准确,但 由于本题研究的海域存在陆地、海
岸线等,使得拟合精度和拟合范围受到影响,作出的同潮图还有改进的空间。这
也说明该方法更适用于开阔海域。然后,本文采用基于三角剖分的自然邻近插值、
线性插值两种模型,作出 9 个分潮的同潮图。同时利用题目提供的水深数据,确
定了陆地的范围,将陆地范围内的插值剔除,避免陆地范围插值的影响。从各个
分潮振幅和迟角的等值图与观潮站实测数据的对比可知,两种插值模型的准确性
明显高于多项式拟合模型。在观测站附近的振幅和迟角的插值结果与实测结果符
合程度非常高,并且振幅和迟角的变化趋势也符合实际,即使存在复杂陆地、海
岸线的影响,两种插值模型仍然较为准确。最后计算了不同分潮个数下,自然邻
近插值法的计算结果与观潮站实测振幅的 RMSE 和矢量差
的 RMS,可知,采
用 9 个分潮计算时,自然邻近插值法的计算结果与实测结果一致性较好,除了主
分潮 M
2
之外,其余 8 个分潮的振幅 RMSE 均低于 0.11 米,说明插值精度较高。
对于问题四:首先建立了潮汐调和常数多项式拟合优度的评价模型:对于单
独一段数据,采用振幅的 RMSE(
KRMS
H
,
)和△的 RMS(
KRMS,
)两个参数表
征拟合优度,两个参数越小,则认为拟合越优。而对于多段数据,则采用所有轨
道上数据拟合结果的
KRMS
H
,
和
KRMS,
的平均值来表征拟合的优劣。计算结果表
明:随着拟合阶数的增大,
KRMS
H
,
均值逐渐减小;当阶数达到 10 以上时,
KRMS
H
,
值趋于平稳,下降不再明显;随着拟合阶数的增大,
KRMS,
均值呈现出先减小后
增大的趋势;当阶数达到 11 时,
KRMS,
达到最低点。结合
KRMS
H
,
和
KRMS,
均值
的两组计算结果,本文认为,采用 11 阶多项式拟合是最优的。
该研究对于本文的启示:多项式拟合阶数越高,拟合结果并不一定越好,而
是存在最优阶数。多项式拟合的效果与具体数据有关,特别是数据的点数。在数
据点少时,不宜使用过高的阶数。这对于问题三的解答是有帮助的:问题三中基
于坐标系变换的多项式拟合模型,在实际拟合时,能够使用的数据量很小,基本
上在 2~7 个点。因为点数较少,本文根据数据数目,相应调整拟合阶数,3 个点
及以下采用 1 阶,4 个点采用 2 阶,5 个点及以上则采用 3 阶多项式拟合。另外,
本文计算出的最佳阶数 11 不是一成不变的,针对不同的数据,不同的情况,应
该重新评估和计算最佳拟合阶数。
3
一、问题重述
1.1 问题背景
海洋潮汐是在天体引潮力作用下形成的长周期波动现象,在水平方向上表现
为潮流的涨落,在铅直方向上则表现为潮位的升降。海洋潮汐的研究已有悠久的
历史,开始于十七世纪后半叶,1687年 Newton在前人和自己研究工作的基础上,
归纳出万有引力定律,用来解释海洋的潮汐现象,并提出平衡潮理论,后来
Bernoulli 等人对这一理论进行了完善。平衡潮理论可以用来解释高低潮、日潮不
等、大小潮等现象,但由于当时把属于动力学范畴的潮汐,当成静力学来处理,
因而不能全面解释本属于动力学的潮汐现象。后来法国科学家 Laplace 创立了潮
波动力学理论,并将地转偏向力引入到潮波动力学理论方程中,将潮汐理论向前
推进了一大步。
卫星高度计的出现是海洋潮汐学的一次大跨越,通过测量脉冲经海面反射之
后的往返时间,获得卫星距海面的高度。其主要利用所得到的海面动力高度同化
反演海洋重力场、流场、潮、大地水准面、海洋重力异常等方面。1992 年美国国
家航空航天局和法国空间局联合发射的 TOPEX/POSEIDON 卫星,作为世界上第
一颗专门应用于世界大洋环流的高度计卫星,为潮汐研究提供了前所未有的信息
源,推动了海洋潮汐的研究。尤其是近十几年,卫星高度计数据被广泛应用于海
洋潮汐分布及其特征的研究中,建立了诸多全球和区域潮汐数值模型。为了完善
改进已有的数值模型,对水位调和函数的深入研究必不可少。
1.2 问题要求
本研究主要根据已有的卫星及验潮点数据资料,建立调和分析数学模型,解
决以下几个问题:
问题 1:根据沿轨道的星下观测点的海面高度异常值,提取所有星下观测点
各主要分潮(
2
M
、
2
S
、
1
K
、
1
O
)的潮汐调和常数,相应的资料长度决定是否可
以有效提取分潮的潮汐调和常数;对提取的潮汐调和常数,利用潮汐验潮点的调
和常数给予评价或检验,并给出评价结果的分析或评价。
问题 2:得到所有星下观测点各主要分潮(
2
M
、
2
S
、
1
K
、
1
O
)的潮汐调和常
数,沿轨道作图后,可发现潮汐调和常数在沿轨道方向,在空间有细结构,而此
细结构是内潮对正压潮的调制;请设法对沿轨道的各分潮的潮汐调和常数进行正
压潮和内潮的分离。
问题 3:设计数据插值或拟合方法给出南海的各主要分潮的同潮图,并利用
潮汐验潮点的调和常数给予评价或检验,并给出评价结果的分析或评价。
问题 4:如果在对沿轨道的潮汐调和常数分离、插值或拟合的过程中,利用
了特定的函数进行拟合,是否能够确定出需利用的特定函数的最佳(高)次数?
上述结论是否对第 3 问有启示或帮助。
二、基本假设与符号说明
2.1 基本假设
假设 1:所研究海域可以视为平面;
假设 2:卫星绕地球转动周期恒定;
假设 3:地球自转周期恒定;
假设 4:实际潮位为有限 J 个较主要分潮迭加的结果。
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4
2.2 符号说明
符号
符号说明
M
2
、S
2
、K
1
、O
1
主要分潮
N
2
、K
2
、P
1
、Q
1
其他分潮
S
a
、S
sa
、M
m
、M
f
长周期分潮
μ
0
、
μ
1
、
μ
2
、
μ
3
、
μ
4
、
μ
5
、
μ
6
Doodson 数
矢量差
h
高度
S
0
余水位
j
f
交点因子
j
u
交点订正角
H
、
j
H
振幅
g
、
j
g
迟角
0 j
V
天文初相角
σ
分潮的角速度
nt( )
噪声
d
验潮站与观测点的地表距离
C
经纬度到地表距离的转换系数
sta
Lon
、
sta
Lat
验潮站的经纬度
sat
Lon
、
sat
Lat
观测点的经纬度
Y
年份编号
M
月份编号
D
日期编号
i
1900 年至 Y 年的闰年数
n
累积日期序数
t
时间
K
多项式拟合次数
三、问题一的模型建立与求解
3.1 问题分析
潮流潮汐是在天体引潮力作用下形成的长周期波动现象,由潮汐平衡潮理论
可知引潮力或引潮势可以展开许多不同周期的振动叠加的结果,因此它就可以用
一系列分潮波之和进行表示,这些分潮波有全日分潮族、半日分潮族等等。高度
计的出现,引发部分学者开展了插值方法的研究,并取得了一些结果。本题根据
沿轨道的星下观测点的海面高度异常值,可以建立潮汐调和分析模型,确定模型
参数,通过最小二乘法,计算提取所有星下观测点各主要分潮的潮汐调和常数。
并利用已有潮汐验潮点实测数据对模型求解的调和常数进行评价检验,并对其作
出分析。
3.2 模型建立
3.2.1 调和分析模型
根据已有的沿轨道星下观测点的海面高度异常值,提取所有星下观测点各主
5
要分潮的潮汐调和常数,建立潮汐调和分析模型对星下观测点的海面高度异常值
进行拟合,本质是曲线拟合问题。
对潮汐进行调和分析时,首先要建立分潮模型,如下式所示:
0
cos( - )
j j j j jj j
f H V gh tu
(3.1)
其中,
j
f
为交点因子,
j
为潮波角频率,
0 j
V
为天文初相角,
j
u
为交点订正
角,
t
为时间,
j
H
,
j
g
为分潮的调和常数(振幅和迟角)。由三角函数公式知,
式(3)可转化为如下形式:
00
cos( ) cos sin( ) sin
j j j j j j j j jj j j j
f t V u H g f t V gh uH
(3.2)
由调和函数理论可知,任意一个时刻实际水位可以看作是多个调和分潮迭加
的结果;在 文献[1]的结论下,实际水位由 J 个主要分潮迭加而成。因此任意一点
的潮位可以表达为:
1
00
cos( )
jj
J
j j j j
j
h t V u gS ntfH
( )
(3.3)
结合式(3.2)可得:
00
1
0
1
cos( ) cos
sin( ) sin
J
j j j j j j
j
J
j j j j j j
j
S f t V u H g
f t V u H g
nt
h
( )
(3.4)
其中,
0
S
为余水位,
j
H
和
j
g
为对应分潮的调和常数,三者为待求解参数;
nt( )
为水位随时间 t 的随机变化量,即噪声,主要由非天文潮位(水文、气象状
况的变化)引起。
3.2.2 检验评价模型
由于潮汐验潮站(以下简称“验潮站”)与沿轨道的星下观测点(以下简称
“观测点”)地理位置不重合,因此需要提取出距离验潮站最近的观测点,用于
评价由观测点数据求解出的调和分析模型结果。
本课题所研究的目标海域处于低纬度地区,可采用下式近似表征观潮站与观
测点的地表距离:
22
sta sat sta sat
d C Lon Lon Lat Lat
(3.5)
式中,d 为验潮站与观测点的地表距离;C 为经纬度到地表距离的转换系数,
为一个常数;
sta
Lon
、
sta
Lat
、
sat
Lon
、
sat
Lat
分别代表验潮站和观测点的经纬度。
根据式(3.5)得到距离各验潮站最近的观测点,取这些观测点的调和常数与对应
验潮站的实测数据检验评价本文 3.2.1 小节模型的优劣。而评价指标参考文献[2],
采用各验潮站与观测点的振幅差
i
H
和矢量差
i
对调和分析模型结果进行检验。
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