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拟合算法-基于卫星高度计海面高度异常资料获取潮汐调和常数方法及应用 (5).pdf
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拟合算法-基于卫星高度计海面高度异常资料获取潮汐调和常数方法及应用 (5).pdf
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第十五届中国研究生
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数学建模竞赛
数学建模竞赛
题 目 基于卫星高度计海面高度异常资料
获取潮汐调和常数方法及应用
摘 要:
潮汐潮流现象在海岸附近和河口区域非常显著,直接或间接地影响着人们的
生产和生活,其运动对波浪、风暴潮、环流、水团等海洋现象和大陆架浅海海洋
的研究有重要影响。区域海洋潮汐的数值模拟需要提供开边界的水位调和常数,
而目前对区域海洋潮汐的调和常数的研究结果难以令人满意。本文基于已有的高
度计资料,对(
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、
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S
、
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K
、
1
O
)4 个主要分潮的潮汐调和常数进行提取,对
沿轨道的潮汐调和常数进行正压潮和内潮的分离,给出各主要分潮的同潮图。
针对问题一,提取所有星下观测点各主要分潮(
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、
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、
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、
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O
)的潮汐
调和常数,建立了基于最小二乘法提取分潮调和常数的数学模型,应用调和分析
方法得到各主要分潮交点因子 f 和订正交 u,根据高度计资料,建立方程的数量
t 远大于未知数的数量 m+1 的矛盾方程组,用最小二乘法求出各主要分潮的调和
常数振幅 H 和迟角 g。依据验潮站的潮汐调和常数,对求出的各主要分潮的调和
常数进行评价和检验,结果表明,基于最小二乘法求出的结果和验潮站的结果相
比差别不大,验证了该方法的可靠性。
针对问题二,对沿轨道的各主要分潮(
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、
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S
、
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K
、
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O
)的潮汐调和常数
进行正压潮和内潮的分离,本文选取 7 条轨道,采用多项式拟合(n=3~10 次)
方法对 Hcos(g)和 Hsin(g)分别进行沿轨多项式拟合。拟合结果表明,拟合次数与
拟合结果的绝均差没有固定的线性关系,8~10 次多项式拟合得到的绝均差最小,
提取的各主要分潮的正压潮值更为精确。由于正压潮值并不受内潮波长变化的影
2
响,通过高通滤波的方法滤掉正压潮部分提取内潮海表面信号,可实现上行轨道
与下行轨道各分潮潮汐调和常数正压潮与内潮的分离。
针对问题三,设计数据插值或拟合方法给出南海各主要分潮同潮图,本文基
于轨道上的调和常数,设计了一种新的拟合方法(根据点到最近两条上(下)行轨
的距离比,在区域内找到一系列点,对这些点的调和常数进行多项式拟合,得到
这些点的调和常数。该方法可以推广到开阔海域的任何分潮),利用该方法得到
各主要分潮(
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、
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K
、
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O
)的同潮图。将该拟合方法得到的同潮图与潮汐
验潮点的同潮图对比,结果表明振幅线走势基本一致,迟角线也匹配的较好,验
证了该拟合方法的合理性。
针对问题四,得出特定函数拟合的最佳次数,本文应用多项式拟合调和常数,
用高通滤波法将各主要分潮的正压潮和内潮分离。对问题二中多项式拟合次数扩
展,得到多项式拟合的最佳范围为 8~11 次。将此最佳范围应用到问题三的新型
拟合方法中,得到整个研究区域的调和常数,结果表明应用最佳范围拟合得到的
同潮图与验潮点同潮图更接近,证明了拟合过程能够确定最佳次数的合理性。
最后,对本文应用的数学模型进行评价,对潮汐潮流的数值模拟进行展望。
关键词:潮汐调和常数;调和分析;多项式拟合;正压潮和内潮;同潮图
3
目 录
一、问题背景与重述....................................................................................................4
1.1 问题背景..........................................................................................................4
1.2 问题重述..........................................................................................................4
二、模型假设................................................................................................................5
三、符号说明................................................................................................................6
四、问题分析................................................................................................................7
4.1 问题一的分析..................................................................................................7
4.2 问题二的分析................................................................................................... 7
4.3 问题三的分析................................................................................................... 7
4.4 问题四的分析................................................................................................... 7
五、模型建立与求解....................................................................................................8
5.1 问题一的模型建立与求解..............................................................................8
5.1.1 模型建立................................................................................................8
5.1.2 模型求解..............................................................................................12
5.2 问题二的模型建立与求解............................................................................21
5.2.1 模型建立..............................................................................................21
5.2.2 模型求解..............................................................................................25
5.3 问题三的模型建立与求解............................................................................37
5.3.1 模型建立..............................................................................................37
5.3.2 模型求解..............................................................................................40
5.4 问题四的分析与求解....................................................................................45
5.4.1 问题分析..............................................................................................45
5.4.2 问题求解..............................................................................................46
5.4.3 与问题三的联系..................................................................................47
六、模型评价及展望..................................................................................................48
6.1 模型评价......................................................................................................... 48
6.2 模型评价......................................................................................................... 48
参考文献......................................................................................................................49
附 录........................................................................................................................50
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4
一、问题背景与重述
1.1
问题背景
海洋潮汐是在天体引潮力作用下形成的长周期波动现象,在水平方向上表现
为潮流的涨落,在铅直方向上则表现为潮位的升降。潮汐潮流运动是海洋中的基
本运动之一,它是动力海洋学研究的重要组成部分,对它的研究直接影响着波浪、
风暴潮、环流、水团等其他海洋现象的研究
[1-3]
,在大陆架浅海海洋中,对潮汐
潮流的研究更具重要性。
海岸附近和河口区域是人类进行生产活动十分频繁的地带,而这个地带的潮
汐现象非常显著,它直接或间接地影响着人们的生产和生活。潮汐潮流工作的开
展和研究,可为国防建设、交通航运、海洋资源开发、能源利用、环境保护、海
港建设和海岸防护提供资料。
1.2 问题重述
区域海洋潮汐的数值模拟需要提供开边界的水位调和常数,而开边界的水
位调和常数,或者来源于观测、或者来源于全球海洋潮汐的数值模拟
[4-7]
;而全
球海洋潮汐的数值模拟,相当耗费资源。虽然目前有国外学者或研究机构,能
够提供区域海洋潮汐的调和常数,但实质上的评价结果难以令人满意。
从区域海洋潮汐的数值模拟的现状来讲,四个主要分潮(
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)
的单一分潮的数值模拟与同化可以得到令人满意的结果,但其它分潮(
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N
、
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、
1
P
、
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Q
等)的单一分潮的数值模拟与同化,结果却差强人意
[8-9]
;这意味着其它
分潮的数值模拟,只有与四个主要分潮同时进行数值模拟,才能得到可以接受
的结果。从具体操作来讲,其它分潮由于相对较弱,导致模拟结果的精度难以
提高。
从各分潮的调和常数获取的发展史来说,通过对已有观测结果进行插值曾
经是首选,但发展过程中逐渐被数值模拟方法所取代。高度计资料的出现,引
发部分学者开展了插值方法的研究
[10-11]
,并取得了一些值得一提的结果,尽管
被所谓的主流方式淹没,但也难掩其光芒所在。鉴于目前已有高度计资料作为
支持,其它分潮及长周期分潮的调和常数获取的插值方法研究大有可为。
根据以上介绍研究下列问题:
问题一:根据沿轨道的星下观测点的海面高度异常值,提取所有星下观测
点各主要分潮(
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、
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、
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)的潮汐调和常数,注意能有效提取那些分潮
的潮汐调和常数取决于相应的资料长度;对提取的潮汐调和常数,应利用潮汐验
潮点的调和常数给予评价或检验,并给出评价结果的分析或评价。
问题二:得到所有星下观测点各主要分潮(
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、
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K
、
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)的潮汐调和
常数,沿轨道作图后,可发现潮汐调和常数在沿轨道方向,在空间有细结构,而
此细结构是内潮对正压潮的调制;请设法对沿轨道的各分潮的潮汐调和常数进行
正压潮和内潮的分离。
问题三:设计数据插值或拟合方法给出南海的各主要分潮的同潮图,并利
用潮汐验潮点的调和常数给予评价或检验,并给出评价结果的分析或评价。
问题四:如果在对沿轨道的潮汐调和常数分离、插值或拟合的过程中,利用
了特定的函数进行拟合,是否能够确定出需利用的特定函数的最佳(高)次数?
上述结论是否对第 3 问有启示或帮助。
5
二、模型假设
假设 1:南海海域在所选的时间段里,各分潮的潮汐调和常数趋于稳定,没有发
生突变。
假设 2:所选的南海海域在这段时间里,海洋深度的基准水平面没有受全球气温
升高影响而发生变化。
假设 3:在验潮站潮汐调和常数提取中,忽略海洋动力条件、气象条件以及观测
误差的误差因素的影响。
假设 4:根据高度计提取调和常数的过程中,忽略各分潮的内部相互作用。
假设 5:选取的观测点的数据记录完整。
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