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拟合算法-学生面试问题.pdf
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拟合算法-学生面试问题.pdf
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1
1 问题重述
高校自主招生是高考改革中的一项新生事务,现在仍处于探索阶段。学生面试问题
理所当然的成为高校自主招生中考察考生综合素质的重要环节之一。现有某高校拟在全
面衡量考生的高中学习成绩及综合表现后再采用专家面试的方式决定录取与否。该校在
今年自主招生中,经过初选合格进入面试的考生有
N
人,拟聘请老师
M
人。其中每位
学生需要分别接受
4
位老师(简称该学生的“面试组”)的单独面试。在面试时,各位
老师独立地对考生提问并根据其回答问题的情况给出评分。由于这是一项主观性很强的
评价工作,老师的专业可能不同,他们的提问内容、提问方式以及评分习惯也会有较大
差异,因此面试同一位考生的“面试组” 的具体组成不同会对录取结果产生一定影响。
同时为了保证面试工作的公平性,要求:
Y1. 每位老师面试的学生数量应尽量均衡;
Y2. 面试不同考生的“面试组”成员不能完全相同;
Y3. 两个考生的“面试组”中有两位或三位老师相同的情形尽量的少;
Y4. 被任意两位老师面试的两个学生集合中出现相同学生的人数尽量的少。
需要解决如下问题:
问题 1:当考生人数 N 已知时,在满足条件:两位学生的“面试组”都没有两位以
及三位面试老师相同的情形时,该校至少要聘请的老师数 M。
问题 2:在满足条件 Y2 的要求下,当学生数 N=379,聘请的教师数 M=24 时,建立
学生与教师之间合理的分配模型,并给出具体的分配方案。
问题 3:假设当面试老师中理科与文科的老师各占一半,而每位学生都分别要接受
两位文科与两位理科老师面试的情况下重新分析问题 1 与问题 2。
问题 4:在解决以上问题的基础上,针对考生与面试老师之间分配的均匀性和面试
公平性的关系,同时也是为了保证面试的公平性,提出一些合理化的意见及建议。
2 问题分析
高考自主招生考试是通过笔试成绩和面试成绩两方面的综合评定鉴定学生的录取
情况的。因此面试的成绩不容忽视。确定合理的面试老师分配方案,保证使录取工作达
到真正的公平合理。针对这个问题提出了一些公平性准则(Y1-- Y4
)
,最终目的是合理
分配老师。这是一个优化问题,所以我们用目标规划模型来解决这个问题。由于牵扯到
很多个量的确定(M 个老师,N 个学生,分配方案的 0-1 矩阵是
MN
阶的),考虑到
选取一定有
NM
,因此我们假设 N 的数量不是一个很大的数,而且它有一个上界。
之所以这样假设,是因为自主招生考试对学生的能力要求非常高,通过初试的考生人数
不会很多。在选取目标函数,约束条件时比较困难,将题目中的各个目标及约束转化成
数学表达式从而构成了目标规划中的目标函数和约束条件,那么根据分析就可以针对问
题一建立一个单目标的规划模型,针对问题二可以建立一个多目标的规划模型。最大的
一个问题就是模型求解,考虑一些改进的近似算法求解是得到结果的关键。
3 符号说明及名词解释
2
解释说明
N
初试成绩合格,参加面试的考生人数
M
在自主招生考试中,需要聘请的老师人数
j
A
表示第
j
老师面试的学生集,(
.21 Mj
)
i
B
第
i
个学生的“面试组” (
i
=1,2,…
N
)
)(k
i
B
第
i
个学生的第
k
个面试老师,(
)(k
i
B
=1,2,…
M
); (
)4,3,2,1
k
jj
aA
第
j
个教师面试的学生集的数量
ii
bB
学生
i
的“面试组”数量,实际上 4
i
b (
i
=1,2,…
N
)
ij
C
jiij
AAC
,第
ji,
个面试老师的相同学生集合(
Mji
,2,1,
)
ij
c
jiij
BBc
,
第
ji,
个学生“面试组”中相同老师集合(
Nji
,2,1,
)
1
C
2|||
1
ijji
cBBC
第
ji,
个学生面试组有两个相同的老师
2
C
3|||
2
ijji
cBBC
第
ji,
个学生面试组有三个相同的老师
ij
x
第
j
个老师面试第
i
个学生的情况(
MjNi ,,2,1,2,1
)
学生面试组中有两个老师相同的情况的优先级因子
学生面试组中有三个老师相同的情况的优先级因子
i
p
第
i
个目标的优先级
Mi ,,2,1
G
学生人数
N
的上限
4 模型假设
4.1 假设考生人数 N 有一个上限 G。
4.2 分配方案一旦确定,都可以招聘到任何需要的老师,招聘不到的情况忽略不计。
4.3 设对每位招聘来的老师都要给他安排面试工作,即
0
1
N
i
ij
x
的情况是不存在的。
5 问题 1 模型建立、求解及结果分析
5.1 问题 1 的模型分析:
说
明
符
号
3
在
2
Y
的前提下,参加面试的人数
N
已知,要计算出满足任两位学生“面试组”都没
有两位及三位面试老师相同的情况下符合情况的 M 的最小值,只需将涉及到的条件转
换成数学表达式作为目标规划的约束条件。
5.1.1 由此可将条件
41
~ YY
的条件转换成数学表达式:
1
Y
:每位老师面试的学生数量应尽量均衡。即要取得
ji
aa min
,
,i
Mj
2,1
.
2
Y
:面试不同考生的“面试组” 成员不能完全相同。即必须满足
ji
BB
,
,i
Nj
2,1
.
3
Y :要求两个考生的“面试组”中有两位或三位老师相同的情形尽量少。我们理解
的尽量少是在学生人数给定的前提下,先考虑任两个“面试组”中只有一个相同老师的
情形,如果该情形能够面试完所有的学生,则不再考虑两组中有两个相同老师的情况;
否则,就要继续考虑。只有当两组中有两个相同老师也不能满足面试人数时,才会考虑
有三个相同老师。 那么第二个目标规划为:
min
21
CC
,,正如上述的分析,要求
三个相同的情况尽可能少,所以
。
4
Y
:被任意两位老师面试的两个学生集合中出现相同学生的人数尽量的少。即,
ij
Cmin
。
5.1.2 引进分配变量
ij
x
后的符号表示变化:
其中
ij
x
=
0
1
个学生个老师没有面试第第
个学生个老师面试第第
ij
ij
,
Ni
,2,1
,
Mj
,2,1
。
由此可知,
M
j
ij
x
1
=4,
N
i
ij
x
1
=
i
a 。 (1)
1
Y
转换成
N
i
N
k
kjij
xx
1 1
min ,
Mj
,2,1
。 (2)
因此任意两个学生
ji,
,(
Nji
,2,1,
)选择
k
老师的情况有三种,即全选,全
不选,其中一个选,即
jkik
xx
=
0
1
选法相同
选法不相同
(3)
那么,
2
Y
转化成
jkik
xx
>0.
考虑到要求面试老师没有两个相同的情况,那么最多只有一个选择相同,由(3):
6
11
M
j
kjij
N
ki
xx
5.2 建立模型:(满足不同情况的两个模型)
通过上述的建模准备工作,针对问题 1 可以建立两个单目标的规划模型:模型 1.1
(对任意两个学生的“面试组”中面试老师没有两个相同的模型)和模型 1.2(对任意
两个学生的“面试组”中面试老师没有三个相同的模型)。
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4
MjNix
xx
MkNjixx
ax
Nix
x
N
M
ij
N
ki
M
j
kjij
jkik
N
i
iij
M
j
ij
N
i
ij
,,2,1,,,2,110
6
,,2,1,,,2,1,,0
0
,,2,1,4
4
min
1 1
1
1
1
,或
模型 1.1
考虑到要求面试老师中没有三个相同的情况,那么最多只有两个选择相同,根据上述(3)
所示,将模型 1.1 中的最后一个约束条件改为:
4
11
M
j
kjij
N
ki
xx
,建立模型 1.2.
ts.
MjNix
xx
MkNjixx
Mjax
Nix
x
N
M
ij
N
i
M
j
kjij
jkik
N
i
iij
M
j
ij
M
i
ij
,,2,1,,,2,110
4
,,2,1,,2,1,,0
,2,1,
,2,1,4
4
min
1 1
1
1
1
,或
模型 1.2
5.3 问题 1 模型求解:
5.3.1 方法:
针对问题 1 建立的目标规划模型
2.1,1.1
同时也是一个
10
整数规划模型,涉及
的内容比较复杂通过常规的方法是不好求解的,因此我们提出了近似求解方法,即
引用隐枚举法找到了变量
ij
x
取值 0、1 的最优组合,从而得到了较优的分配方案,
取定一些特殊的 N 值,例如 N=6,7,8,9…24,通过模型 1.1 和模型 1.2 利用此方
法算出较优的 M 值,计算的结果如表 2 所示。为了寻找出 M 和 N 之间的关系,我
们将这些组数据进行拟合得到了 M 和 N 的函数关系。
表 2:由不同教师数 M 得到在不同条件下可面试的学生数 N
至多
有两
个老
师相
至多
有一
个老
师相
至多
有两
个老
师相
至多
有一
个老
师相
至多
有两
个老
师相
至多
有一
个老
师相
N
值
M
值
5
同 同 同 同 同 同
6 3 1 15 105 13 24 378 35
7 7 2 16 140 15 25 442 37
8 14 2 17 140 17 26 518 42
9 14 3 18 148 20 27 606 45
10 18 3 19 164 21 28 707 48
11 26 6 20 189 24 29 819 50
12 39 9 21 221 26 30 945 55
13 55 13 22 263 30 31 1085 59
14 77 11 23 315 33 32 1240 64
5.3.2 拟合数据
对于有两个老师相同的情况,首先将得到的表格中的 6-24 的十九组数据进行
拟合,程序见附录一的 1.1。其中参加面试学生数 N 看成是自变量
x
,应聘的老师
数
M
看成变量
y
。拟合图象如图 1 所示。
0 50 100 150 200 250 300 350 400
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
26
图形
1
(全部数据拟合)
data 1
cubic
图 1
为了使残差相对较小,而且从图象上直观的看拟合的效果好一些,因此选取三
次函数做为最后结果。
1768.7
10592.0
00026336.0
0077049.2
)1(
4
)1(
3
)1(
2
)1(
1
3)1(
1
2)1(
2
)1(
3
)1(
4)1(
P
P
P
eP
xPxPxPPy
)4(
从图 1 中看出在
17,16
M
处的拟合效果不好,那么分段进行考虑。在
16
M
处
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