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拟合算法-汶川地震中唐家山堰塞湖泄洪问题研究.pdf
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拟合算法-汶川地震中唐家山堰塞湖泄洪问题研究.pdf
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第
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五
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届
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研
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究
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生
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数
数
学
学
建
建
模
模
竞
竞
赛
赛
题 目
汶川地震中唐家山堰塞湖泄洪问题研究
摘 要:
本文首先根据库容量和水位高程的变化关系建立了一个库容量计算模型,得
出库容量和水位高程符合指数关系,再根据降水量和水位高程变化的关系建立了
降水量模型,分析了降水量对堰塞湖水位的影响,并给出了 50%、80%、100%、
150%各种降水情形下的水位变化。
然后利用新闻媒体搜集的数据建立了一个逐渐溃坝模型,该模型包括溃口计
算模型,水流量计算模型和库容计算模型,包含了溃口宽度、深度、水流速度、
水量、水位高程,时间等变量,并根据该模型计算了唐家山堰塞湖发生漫顶逐渐
溃坝时的各种变量的数据。
根据河道内质量守恒定律和能量守恒定律,在假设河道分段逐渐变化的前提
下推导得到了溃坝推演模型,并给出了模型的离散形式,在已知河道信息和溃坝
处信息情况下的迭代推算方法,并将溃坝推演模型用来推测唐家山发生 1/3 溃坝
时的水流速度变化和水面高度变化,并提示了可能被洪水淹没的地区。
最后根据本文中的模型分析了当时采取的政策和方案,并提出了我们的建
议。
参赛队号 清华大学参赛队 13
参赛密码
(由组委会填写)
2
一、问题的提出
2008 年 5 月 12 日 14:28 在我国四川汶川地区发生了 8.0 级特大地震,给
人民生命财产和国民经济造成了极大的损失。地震引发的次生灾害也相当严重,
特别是地震造成的 34 处高悬于灾区人民头上的堰塞湖,对下游人民的生命财产
和国家建设构成巨大威胁。加强对震后次生灾害规律的研究,为国家抗震救灾提
供更有力的科学支撑是科技工作者义不容辞的责任。
唐家山堰塞湖是汶川大地震后山体滑坡后阻塞河道形成的最大堰塞湖,位于
涧河上游距北川县城 6 公里处,是北川灾区面积最大、危险最大的堰塞湖,其堰
塞体沿河流方向长约 803 米,横河最大宽约 611 米,顶部面积约为 30 万平方米,
主要由石头和山坡风化土组成。由于唐家山堰塞湖集雨面积大、水位上涨快、地
质结构差,溃坝的可能性极大,从最终的实际情况看,从坝顶溢出而溃坝的可能
性比其它原因溃坝的可能性大得多。
经过专家分析,采取有效措施,最终完成了唐家山堰塞湖的成功泄洪。当时
的科技工作者记录了大量的珍贵数据,新闻媒体也对唐家山堰塞湖进展情况进行
了及时的报道,通过对这些数据的收集(由于数据来源不同,数据有些冲突,以
新华社报道的相关数据为准),我们对堰塞湖及其泄洪规律进行了初步研究,完
成以下工作:
1.建立唐家山堰塞湖以水位高程为自变量的蓄水量的数学模型 ,并以该地
区天气预报的降雨情况的 50%,80%,100%,150%为实际降雨量预计自 5 月 25 日
起至 6 月 12 日堰塞湖水位每日上升的高度(不计及泄洪)。(由于问题的难度和实
际情况的复杂性及安全方面的考虑,没有充分追求模型的精度,以下同);
2.唐家山堰塞湖泄洪时科技人员记录下了大量宝贵的数据。我们在合理的假
设下,利用这些数据建立堰塞湖蓄水漫顶后在水流作用下发生溃坝的数学模型,
模型中包含缺口宽度、深度、水流速度、水量、水位高程,时间等变量。
3.根据数字地图,给出坝体发生溃塌造成堰塞湖内 1/3 的蓄水突然下泻时
(实际上没有发生)的洪水水流速度及淹没区域(包括洪水到达各地的时间),
并在此基础上考虑洪水淹没区域中人口密集区域的人员撤离方案。
4.根据我们所建立的数学模型分析当时所采取对策的正确性和改进的可能
性。讨论应对地震后次生山地灾害 (不限堰塞湖) ,科技工作中应该设法解决的
关键问题,并提出有关建议。
3
二、符号说明
W
: 堰塞湖内蓄水量,即总库容,单位:亿立方米
( )H t
:坝前水位高程,单位:米
0b
H
: 堰塞湖底部高程,常数
667.4
米
( )
L
h t
:堰塞湖内水深,单位:米
( )R t
:堰塞湖每天的新增水量 ,单位:亿立方米
( )J t
:第 t 天的降雨量,单位:毫米
( )b t
:泄流槽的宽度,单位:米
( )
IN
Q t
:t 时刻的单位入湖流量,单位:立方米/秒
( )
OUT
Q t
:t 时刻的单位泄流量,单位:立方米/秒
b0
H
H(t)
w
h (t)
b(t)
TOP
H
h(t)
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4
三、模型的建立与求解
1.总蓄水量与坝前水位高程的数学模型
1.1 一般模型
一般情况下,在截面积规则的情况下,蓄水量可用水深的二次方或三次方来
进行描述,但由于唐家山堰塞湖湖体结构复杂,其蓄水量不能用其水深的二次方
或三次方进行简单描述。根据报道中搜集的所有数据,可以基本确定总蓄水量
W
与水深
L
h
存在指数关系,假定:
n
L
W ah
(1.1)
其中,
a
与
n
为库容特性系数。
根据新华社报道“唐家山堰塞湖坝顶高程 750.2 米,坝高 82.8 米”,可以假
设堰塞湖的底部高程
0
750.2 82.8 667.4
b
H 米,从而可以得出湖内水深与坝前
水位高程
H
的关系为:
0L b
h H H
(1.2)
由方程(1.1)、(1.2)联立可以得出总蓄水量与坝前水位高程的数学模型为:
0
( )
n
b
W a H H
(1.3)
将方程(1.3)两边取对数,方程变换为:
0
ln( ) ln( ) ln( )
b
W a n H H (1.4)
根据所给的总蓄水量
W
与相应坝前水位高程
H
的实际数据,计算相应的
ln( )W
与
0
ln( )
b
H H ,对方程(1.4)进行线性拟合,可以得出参数
a
与
n
的最优
解。
3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
log(H-667.4)
log(W)
数据采样
图 1 蓄水量与水位高程采样点数据(取对数处理后)
5
3.7 3.8 3.9 4 4.1 4.2 4.3 4.4 4.5
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
1.4
log(H-667.4)
log(W)
数据拟合
y = 2.1894*x - 8.5638
data 1
linear
图 2 采样点数据的数据拟合
拟合结果:
2.1894
n
ln( ) 8.5638
a
=>
4
1.9089 10
a
残差 =
0.07455
故可以得出最终的总蓄水量
W
与坝前水位高程
H
的数学模型为:
4 2.1894
1.9089 10 ( 667.4)W H
(1.5)
1.2 降雨模型
为了预测降雨给堰塞湖水位带来的影响,首先根据实际的降雨量建立降雨-
水位模型。经过分析,我们认为,第
n
天(假设 5 月 25 日是第 1 天)之后堰塞
湖每日的新增水体主要来自于以下几个方面:
(1) 前 24 小时直接落在堰塞湖面的降雨
( )
a
R t
;
(2) 周围山体的降雨经过一定的延时后汇入堰塞湖而形成的水体
( )
b
R t
;
(3) 上游地区的积雨经过一定的延时后流入堰塞湖的水体
( )
c
R t
;
(4) 河流上游正常流入湖体的水体
( )
d
R t
;
根据附件 1 提供的数据,我们采用了每天早上 8 点的堰塞湖水位数据,这样
(1)、(2)部分主要考虑的是前一天晚上和前一天白天的降雨带来的影响,而假设
(3)部分即上游的积雨要经过一天的时间汇入堰塞湖,这样,(4)部分主要考虑的
是前 48 小时到前 24 小时的降雨带来的影响。附件一给出的降雨量值,有的分为
白天和晚上的降雨量,这里均转换成了一天的降雨量。
每部分的模型分别如下:
(1) 对于
( )
a
R t
,假设堰塞湖面积为
1
S
,前 24 小时的降雨量为
1
( 1)J t
,那么
可得以下关系式:
1 1
( ) ( 1)
a
R t S J t
(1.6)
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