18_行列式1
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2022-08-04
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18.
行
列
式
对于任意方阵 都有对应的行列式，称为矩阵的行列式，记作：
1.
需
要
行
列
式
行列式 是求
特
征
值
的工具。
对于一个方阵，很难有一个概念将它的很多性质压缩到一起告诉人们。
而行列式，
把
关
于
方
阵
尽
可
能
多
的
信
息
包
含
在
其
中
。
（最简单的一个例子就是：
如
果
一个
方
阵
的
行
列
式
为
0
，
那
么
该
方
阵
不
可
逆
）
2.
行
列
式
的
性
质
虽然说教授一直注重于启发，但是面对这些显然的结论或者性质，还是会直接提出来啊。
1. [
单
位
阵
计
算
法
]
2. [
行
列
式
的
行
交
换
]
交
换
行列式中的
任
意
两
行
，行列式的值变为其
相
反
数
。
3. [
行
列
式
中
的
线
性
关
系
] 如果一数 同时乘 行列式中的任意一行，
而
不
改
变
其
他
行
，那么其行列式的值变为
原来的 倍。
如果
行
列
式
中
的
一
行
被改变，那么等于原行列式的值 + 改变行列式的值
4. [
可
逆
性
判
定
延
伸
（
一
）
] 如果一行列式有两行相同，那么行列式值为 0 。
5. [
高
斯
消
元
法
性
质
] 高斯消元法不变行列式值。
6. [
可
逆
性
判
定
延
伸
（
二
）
] 若有一行全为 0，那么行列式值为 0。
7. [
行
列
式
计
算
法
] 上三角阵的行列式值等于对角线元素乘积。
8. [
可
逆
性
判
定
] 矩阵 可逆。
9. [
行
列
式
可
乘
性
]
10. [
行
列
变
换
等
价
性
]
i.
置
换
矩
阵
由(1.)(2.)，我们曾经定义过
置
换
矩
阵
的概念，即：
左乘该矩阵，被作用矩阵对应的行被交换；
右乘该矩阵，被作用矩阵对应的列被交换。
那么，可以得出
置
换
矩
阵
, 其行列式
如果说 , 那也就意味着：
A
detA or ∣A∣
detI = 1
t
t
detA = 0 ⇔ A
detAB = (detA)(detB)
detA =
T
detA
P detP = 1or − 1
detI = 1
∣ ∣ ∣ ∣
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