C2 行列式1
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2022-08-03
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Chapter 2
by 行列式
1 Def & Theo
1.1 排列
1. 排列：有限长度的有序数组(1,2,3,4)(7,2,64,12,3).共n!个排列
2. 排列的逆序数：一对数的位置关系和大小关系相反(2,1)，称为一个逆序
排列的所有逆序的个数称为逆序数：(1,2,3,4)=0;(4,3,2,1)=3+2+1=6
记为:τ(j
1
; j
2
; : : : ; j
n
)
3. 排列的奇偶性：逆序数的奇偶性
4. 对换(交换排列中的两个数)改变排列的奇偶性
推论：n级排列中奇偶排列的个数为n!/2
1.2 n级行列式
1. 行列式：f: F
n;n
! F
a
1;1
· · · a
1;n
·
·
·
·
·
·
·
·
·
a
n;1
· · · a
n;n
= 所有 (¡1)
τ (行)+τ(列)
(不同行、不同列的n个元素乘积) 的和
det A =
X
j
i
2prem(n)
(¡1)
τ(j
1
; : : : ; j
n
)
×
Y
i
a
i;j
i
det A
0
=
X
j
i
2prem(n)
(¡1)
τ(j
1
; : : : ; j
n
)
×
Y
i
a
j
i
;i
Remark: 行列式有n!项; det A = det A
0
1.3 行列式的性质
1. det A = det A
0
2.
a
11
· · · a
1n
·
·
·
·
·
·
ka
i1
· · · ka
in
·
·
·
·
·
·
a
n1
· · · a
nn
= k
a
11
· · · a
1n
·
·
·
·
·
·
a
i1
· · · a
in
·
·
·
·
·
·
a
n1
· · · a
nn
;
ka
11
· · · ka
1n
·
·
·
·
·
·
·
·
·
ka
n1
· · · ka
nn
= k
n
a
11
a
1n
·
·
·
a
n1
a
nn
;
a
11
· · · a
1n
·
·
·
·
·
·
0 · · · 0
·
·
·
·
·
·
a
n1
· · · a
nn
= 0
3.
a
11
a
1n
·
·
·
·
·
·
b
1
+ c
1
· · · b
n
+ c
n
·
·
·
·
·
·
a
n1
· · · a
nn
=
a
11
a
1n
·
·
·
·
·
·
b
1
· · · b
n
·
·
·
·
·
·
a
n1
· · · a
nn
+
a
11
a
1n
·
·
·
·
·
·
c
1
· · · c
n
·
·
·
·
·
·
a
n1
· · · a
nn
4. 两行相同：行列式为0。Pr: 从列定义看prem中交换了两个排列 ! 符号相反 ! 0
1
航知道
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