线性代数(同济第五版)习题答案

第一章行列式 课后的习题值得我们仔细研读. 本章建议重点看以下习题: 5.(2), (5); 7; 8.(2). (这几个题号建立有超级链接.) 若 您发现有好的解法, 请不吝告知. 1 . 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1) ¯¯¯¯¯¯¯¯ 2 0 1 1 ¡4 ¡1 ¡1 8 3 ¯¯¯¯¯¯¯¯ ; (2) ¯¯¯¯¯¯¯¯ a b c b c a c a b ¯¯¯¯¯¯¯¯ ; (3) ¯¯¯¯¯¯¯¯ 1 1 1 a b c a2 b2 c2 ¯¯¯¯¯¯¯¯ ; (4) ¯¯¯¯¯¯¯¯ x y x + y y x + y x x + y x y ¯¯¯¯¯¯¯¯ . 解: (1) ¯¯¯¯¯¯¯¯ 2 0 1 1 ¡4 ¡1 ¡1 8 3 ¯¯¯¯¯¯¯¯ = 2 £ (¡4) £ 3 + 0 £ (¡1) £ (¡1) + 1 £ 1 £ 8 ¡ 0 £ 1 £ 3 ¡ 2 £ (¡1) £ 8 ¡ 1 £ (¡4) £ (¡1) = ¡24 + 8 + 16 ¡ 4 = ¡4: (2) ¯¯¯¯¯¯¯¯ a b c b c a c a b ¯¯¯¯¯¯¯¯ = acb + bac + cba ¡ bbb ¡ aaa ¡ ccc = 3abc ¡ a3 ¡ b3 ¡ c3: (3) ¯¯¯¯¯¯¯¯ 1 1 1 a b c a2 b2 c2 ¯¯¯¯¯¯¯¯ = bc2 + ca2 + ab2 ¡ ac2 ¡ ba2 ¡ cb2 = (a ¡ b)(b ¡ c)(c ¡ a): (4) ¯¯¯¯¯¯¯¯ x y x + y y x + y x x + y x y ¯¯¯¯¯¯¯¯ = x(x + y)y + yx(x + y) + (x + y)yx ¡ y3 ¡ (x + y)3 ¡ x3 = 3xy(x + y) ¡ y3 ¡ 3x2y ¡ 3y2x ¡ x3 ¡ y3 ¡ x3 = ¡2(x3 + y3): 线性代数是数学的一个重要分支，特别是在计算机科学和工程领域有着广泛的应用。同济大学出版的《线性代数》第五版是一本常见的教材，其中的习题可以帮助学生深入理解行列式、矩阵、线性方程组等基本概念。在第一章关于行列式的部分，学习者需要掌握行列式的计算方法，尤其是对角线法则。 对角线法则用于计算3阶或更低阶的行列式，它是将对角线上的元素乘积相加，然后减去反对角线上的元素乘积相加。例如，在给定的第一个题目中，计算如下： (1) 第一个三阶行列式为： 2 0 1 1 -4 -1 -1 8 3 利用对角线法则，计算为： 2 * (-4) * 3 + 0 * (-1) * (-1) + 1 * 1 * 8 - 0 * 1 * 3 - 2 * (-1) * 8 - 1 * (-4) * (-1) = -24 + 8 + 16 - 4 = -4。 (2) 第二个三阶行列式为： a b c b c a c a b 可以转换成3abc的形式，再减去每个元素的三次幂，得到： 3abc - a^3 - b^3 - c^3。 (3) 第三个三阶行列式为： 1 1 1 a b c 2 b2 c2 通过展开可以得到(a - b)(b - c)(c - a)，这是一个关于a、b、c的多项式。 (4) 第四个三阶行列式为： x y x + y y x x + y x + y x y 经过化简后，会得到一个关于x和y的表达式，即-2(x^3 + y^3)。 对于逆序数的概念，它在组合数学中很重要，特别是在排列的统计分析中。逆序数是指在一个排列中，小于前面元素的元素数量。例如： (1) 1 2 3 4 的逆序数为0，因为没有较小的数字在较大的数字之前。 (2) 4 1 3 2 的逆序数为4，分别是4 1, 4 3, 4 2, 3 2。 (3) 3 4 2 1 的逆序数为5，包括3 2, 3 1, 4 2, 4 1, 2 1。 (4) 2 4 1 3 的逆序数为3，对应于2 1, 4 1, 4 3。 (5) 1 3 ... (2n-1) 2 4 ... (2n) 的逆序数为 n(n-1)/2，因为每个奇数都比后面的偶数小。 (6) 1 3 ... (2n-1) (2n) (2n-2) ... 2 的逆序数为 n(n-1)，因为所有奇数都在所有偶数之前。 通过这些具体的习题解答，我们可以看到线性代数中的行列式计算和排列的逆序数计算是基础但重要的概念。它们不仅有助于理解和应用线性代数理论，也是解决更复杂问题的基石，比如求解线性方程组、特征值问题以及在数据分析、图像处理等领域的问题。因此，熟练掌握这些知识点对于学习线性代数至关重要。