线性代数(同济第五版)习题答案

第一章行列式 课后的习题值得我们仔细研读. 本章建议重点看以下习题: 5.(2), (5); 7; 8.(2). (这几个题号建立有超级链接.) 若 您发现有好的解法, 请不吝告知. 1 . 利用对角线法则计算下列三阶行列式: (1) ¯¯¯¯¯¯¯¯ 2 0 1 1 ¡4 ¡1 ¡1 8 3 ¯¯¯¯¯¯¯¯ ; (2) ¯¯¯¯¯¯¯¯ a b c b c a c a b ¯¯¯¯¯¯¯¯ ; (3) ¯¯¯¯¯¯¯¯ 1 1 1 a b c a2 b2 c2 ¯¯¯¯¯¯¯¯ ; (4) ¯¯¯¯¯¯¯¯ x y x + y y x + y x x + y x y ¯¯¯¯¯¯¯¯ . 解: (1) ¯¯¯¯¯¯¯¯ 2 0 1 1 ¡4 ¡1 ¡1 8 3 ¯¯¯¯¯¯¯¯ = 2 £ (¡4) £ 3 + 0 £ (¡1) £ (¡1) + 1 £ 1 £ 8 ¡ 0 £ 1 £ 3 ¡ 2 £ (¡1) £ 8 ¡ 1 £ (¡4) £ (¡1) = ¡24 + 8 + 16 ¡ 4 = ¡4: (2) ¯¯¯¯¯¯¯¯ a b c b c a c a b ¯¯¯¯¯¯¯¯ = acb + bac + cba ¡ bbb ¡ aaa ¡ ccc = 3abc ¡ a3 ¡ b3 ¡ c3: (3) ¯¯¯¯¯¯¯¯ 1 1 1 a b c a2 b2 c2 ¯¯¯¯¯¯¯¯ = bc2 + ca2 + ab2 ¡ ac2 ¡ ba2 ¡ cb2 = (a ¡ b)(b ¡ c)(c ¡ a): (4) ¯¯¯¯¯¯¯¯ x y x + y y x + y x x + y x y ¯¯¯¯¯¯¯¯ = x(x + y)y + yx(x + y) + (x + y)yx ¡ y3 ¡ (x + y)3 ¡ x3 = 3xy(x + y) ¡ y3 ¡ 3x2y ¡ 3y2x ¡ x3 ¡ y3 ¡ x3 = ¡2(x3 + y3):