第 18 课 行列式及其性质
从这堂课开始,我们就进入了这门课的第二部分。迄今为止,我们已经学习了很多关于长方矩阵的知
识,现在,把注意力转向方阵,探讨两个大的话题:行列式和特征值,我们需要行列式的重要原因是求
特征值。
行列式是跟每个方阵都有关的数,每个方阵都有与其相关的行列式,我们一般记为 ,或者写作
。
行列式最早是应用在用来判断方程组是否有解,在矩阵被发明后,行列式就拥有了更多的性质和应用。
行列式是一个神奇的数,一个数很难告诉你整个矩阵是什么样子的,但行列式把矩阵的尽可能多的信息
就包含在其中了。就比如,矩阵可逆等价于行列式非零,行列式为零时矩阵是奇异的。从另外一个角度
来理解,行列式从某种程度上代表了这个矩阵的特征,这是学习特征分解的前置概念。
三个行列式基础性质
首先我们介绍三个行列式基础性质,这三个性质定义了行列式。
性质 :对于单位矩阵 ,有 。
性质 :交换行,行列式的值的符号会相反。
由上面的两个性质我们可以得到:之前学习的置换矩阵的行列式的值为 或 。例如:
。
置换矩阵 具体的行列式值为 还是 ,取决于行交换的次数:
。
接下来,我们要讲的内容可能有些会比较抽象,所以在这里先给出二阶行列式的公式,以便我们验证我
们所讲的任何一个性质。
性质 是非常关键的,我们把它分为 和 :
性质 :行列式按行提取出矩阵中的系数,也即 。我们可以用二阶行
列式的公司来验证一下: 。
性质 :行列式是一个线性函数,但这个线性单独反映在每一行上,也即:
。
注意,性质 说的并不是 ,行列式的线性并不作用于整个矩阵上,而
是只反映在每一行上,同样可以用二阶行列式来验证:
推导出的性质
关于行列式更多的性质可以从以上的三条性质中推导出来。
性质 :如果两行相等,那么行列式等于 。
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