高等代数2-2(数学类)--期末考试--2014级1
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2022-08-04
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2014-2015 学年第二学期数学类高等代数期末考试
1. 利用正交变换化 5x
2
1
+ 5x
2
2
+ 3x
2
3
− 2x
1
x
2
− 6x
1
x
3
+ 6x
2
x
3
= 1 为标准型
2. 设 V 为 n 维欧式空间，对 α ∈ V, |α| = 0, W = {β|(α, β) = 0},
(1). 证 W 是 V 的子空间
(2). 求 W 的维数与 W
⊥
的一组基
3. 求以下矩阵的若当标准型
A =
−1 1 1
−5 21 −17
6 26 −21
4. 设 V 为 n 维欧式空间，V 中线性变换 σ 有 σ
2
= ε，证明：σ 在一组基下可表示
为 diag(−1, · · · , −1, 1, · · · , 1)
5. 设 A 为一个 n 阶方阵，且已知 λ 是 A 的一个 k 重特征值，证明 r(λE − A) ≥
n − k, r(λE − A)
k
= n − k
6. 对于欧式空间 V 有向量 α
1
, · · · , α
m
和 β
1
, · · · , β
m
，且 (α
i
, α
j
) = (β
i
, β
j
), (i, j =
1, · · · , m). 证：V
1
= L(α
1
, · · · , α
m
) 与 V
2
= L(β
1
, · · · , β
m
) 同构
7. 设 A 为一个 n 阶方阵，若 |λE−A| = (λ−λ
1
)
r
1
· · · (λ−λ
s
)
r
s
，令 g(λ) =
f(λ)
(f(λ), f
′
(λ))
,
证明：g(A) = 0 与 A 可对角化互为充要条件。
1
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