高等代数2-2(数学类)--期中考试--2013级1
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2022-08-04
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2013-2014 学年第二学期数学类高等代数期中考试
1. 判断曲线 x
2
− 4y
2
− 2z
2
− 4xy + 4xz + 8yz − 6x − 4y − 4z + 9 = 0 的类型
2. 求与直线 l1 :
{
x = 1
y = z
,l 2 :
{
x = −1
y = −z
,l 3 :
x − 2
−3
=
y + 1
4
=
z + 2
5
都共面的直
线形成的曲面方程
3.A, B 均为正定矩阵，证明：|A| < |A + B|
4. 已知 α
1
, α
2
, · · · , α
n
为线性空间 V 的一组基，证明：α
1
, α
1
+α
2
, · · · , α
1
+α
2
+· · ·+
α
n
为 V 的一组基，并求 α = (α
1
, α
2
, · · · , α
n
)(n, n − 1, · · · , 1)
′
在基 α
1
, α
1
+ α
2
, · · · , α
1
+
α
2
+ · · · + α
n
下的坐标
5. 求 L(α
1
, α
2
) 与 L(β
1
, β
2
) 的交与和的空间的基和维数
α
1
= (1, 2, 1, 0), α
2
= (−1, 1, 1 , 1), β
1
= (2, −1, 0 , 1), β
2
= (1, −1, 3, 1)
6.n × n 阶矩阵 A, B, C, D 两两可交换 · · · , 且 AC + BD = E,V = {X|ABX =
0},V 1 = {X|AX = 0},V 2 = {X|BX = 0}, 证明：V = V 1 ⊕ V 2
7.X
′
AX 为 r = n 的实二次型，证明：存在 R
n
的一个
1
2
(n − |S|) 维子空间 V (S 为
符号差)，使，∀X ∈ V, X
′
AX = 0
1
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