高等代数2-2(数学类)--期中考试--2015级1
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2022-08-04
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数学科学学院2015级高等代数2-2期中考试
命题人:耿薇 (回忆人:张万鹏)
一、求二次曲面x
2
− 4y
2
− 2z
2
− 4xy + 4xz + 8yz − 6x − 4y − 4z + 9 = 0的曲面类型.若是直纹面,则
求出直母线方程.
二、求与直线l
1
:
x = 1
y = z
，l
2
:
x = −1
y = −z
，l
3
:
x − 2
−3
=
y + 1
4
=
z + 2
5
都共面的直线形成的曲面方
程.
三、已知C是复数域，M =
(
α β
−β α
!
α, β ∈ C
)
.证明:
(1)M对矩阵的加法和数乘构成实数域上的线性空间，并求出M的一组基和维数.
(2)M与R
4
同构.并写出一个同构映射.
四、 已知α
1
, α
2
, · · · , α
n
是R
n
的一组基.证明:α
1
, α
1
+ α
2
, · · · , α
1
+ . . . + α
n
也是一组基.并求出α =
(n, n − 1, . . . , 2, 1)在新基下的坐标.
五、求由向量α
i
生成的子空间与由向量β
i
生成的子空间的交空间与和空间的基和维数.其中
α
1
= ( 1, 2, 1, 0)
α
2
= (−1, 1, 1, 1)
β
1
= (2, −1, 0, 1)
β
2
= (1, −1, 3, 7)
六、已知f(x)、g(x)是数域P中的多项式且满足(f (x), g(x)) = 1.A ∈ P
n×n
,W 是f (A)g(A)X = 0的
解空间，V
1
是f(A)X = 0的解空间，V
2
是g(A)X = 0的解空间.求证:W = V
1
L
V
2
.
七、设X
0
AX是一秩为n的实二次型.证明:存在R
n
的一个
n − |s|
2
维子空间V (其中s为符号差数)，对
任一X ∈ V 有X
0
AX = 0.
1
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