高等代数2-2(数学类)--期中试题--2010级1
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2022-08-04
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南开大学数学系10-11学年第二学期《高等代数与解析几何(II)》
期中试题
学号： 姓名： 成绩：
1. (15分) 设矩阵A =
2 1 −2
1 0 0
0 1 0
, x =
0
6
12
.
(1). (10分) 计算A的特征值和特征向量;
(2). (5分) 计算A
10
· x.
2. (30分) 设矩阵A =
−1 1 0
−4 3 0
1 0 2
.
(1). (15分) 求A的Jordan标准形J, 并求出可逆矩阵T ，使得T
−1
AT = J.
(2). (15分) A的行列式因子、不变因子、初等因子和最低多项式.
3. (10分) 设V 是数域P 上的n维线性空间, σ是V 的可逆的线性变换, W 是σ的不变子空间.
证明：W 也是σ
−1
的不变子空间.
4. (10分) 设V 是n维线性空间, A, B ∈ End V . 证明: rank(AB) ≥ rank(A) + rank(B) − dim(V ).
5. (10分) 设V 是奇数维的实线性空间, A, B ∈ End V 满足AB = BA.
证明: A和B有公共的特征向量.
6. (10分) 设V 是n维线性空间, σ ∈ End V . 令
V
0
=
n
X
i=1
ker(σ
i
), V
1
=
n
\
i=1
σ
i
(V ).
证明: V
0
和V
1
都是σ的不变子空间, 且V = V
0
⊕ V
1
.
7. (15分) 设A是一个n × n阶复矩阵, a是A的任意特征值, 重数为k.
证明：A相似于一个对角矩阵的充分必要条件是秩(aI
n
− A)=n − k.
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