吉林大学 2010-2011 学年第一学期“高等代数 I”期末考试试题
共六道大题 满分 100 分 时间 120 分钟
一、(共 30 分)
1、求多项式
84104)(
2345
xxxxxxf
在有理数域上的标准分解;
2、计算行列式
212
2
1
2
2
1
1
1
2
2
2
21
2
1
21
111
111
n
n
n
n
nnnn
nn
n
n
xxxxxx
xxxxxx
xxx
D
的值;
3、求矩阵
的逆矩阵.
二、(共 15 分)设 f, g 为不全为 0 的多项式.证明对任意正整数 n 都有( f , g )
n
=( f
n
, g
n
).
三、(共 15 分)设 A 是 n 阶方阵.证明若存在非零矩阵 B,使得 AB=O,则一定存在非零矩阵
C,使得 CA=O.
四、(共 15 分)讨论方程组
5)8(53
34)2(32
12
1
4321
4321
432
4321
xaxxx
bxxaxx
xxx
xxxx
解的情况,并在有解时求出这个
方程组的所有解.
五、(共 15 分)设向量组
满足
.
证明:对任意的数
,向量组
,
,…,
都线性无关当且仅当
线性无关.
六、(共 10 分)设 A,B,C,D 均为 n 阶方阵,AC=CA, AD=CB,A 可逆,求证: