2010吉林大学高等代数1期末考试1
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吉林大学 2010-2011 学年第一学期“高等代数 I”期末考试试题
共六道大题 满分 100 分 时间 120 分钟
一、（共 30 分）
1、求多项式
84104)(
2345
xxxxxxf
在有理数域上的标准分解；
2、计算行列式
212
2
1
2
2
1
1
1
2
2
2
21
2
1
21
111
111
n
n
n
n
nnnn
nn
n
n
xxxxxx
xxxxxx
xxx
D
的值；
3、求矩阵
021
112
111
A
的逆矩阵.
二、（共 15 分）设 f, g 为不全为 0 的多项式.证明对任意正整数 n 都有( f , g )
n
=( f
n
, g
n
).
三、（共 15 分）设 A 是 n 阶方阵.证明若存在非零矩阵 B，使得 AB=O，则一定存在非零矩阵
C，使得 CA=O.
四、（共 15 分）讨论方程组
5)8(53
34)2(32
12
1
4321
4321
432
4321
xaxxx
bxxaxx
xxx
xxxx
解的情况，并在有解时求出这个
方程组的所有解.
五、（共 15 分）设向量组
)2(,,,
21
m
m
满足
i
.
证明：对任意的数
121
,,,
m
kkk
，向量组
m
k
111
,
m
k
222
,…,
mmmm
k
111
都线性无关当且仅当
m
,,,
21
线性无关.
六、（共 10 分）设 A,B,C,D 均为 n 阶方阵，AC=CA, AD=CB，A 可逆，求证：
.n
DC
BA
r
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