2009吉林大学高等代数1期末考试1
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吉林大学 2009-2010 学年第一学期“高等代数 I”期末考试试题
共六道大题 满分 100 分 时间 120 分钟
一、（共 35 分）
1、求多项式
25)(
234
xxxxxf
在有理数域上的标准分解；
2、设
5324
3
2
1
3311
1111
0011
00111
xxxx
x
xx
x
D
，分别求 D 的第一列元素的代数余子式与余子式之和；
3、设 A,X 都为三阶矩阵，且
IXAAAX 3
~~
1
，其中
100
110
021
A
，求 X.
二、（共 15 分）求线性方程组方程组
3652
22462
1343
02
4321
4321
4321
4321
xxxx
xxxx
xxxx
xxxx
的通解.
三、（共 15 分）设 A,B,C 均为 n 阶方阵，求证
BCBA
ACA
可逆当且仅当 A, B, C, I-A 均可逆.
四、（共 15 分）设 n 阶矩阵 A 非零.证明 r(A)=r 当且仅当 A 中有一个 r 阶非奇异子块，且存
在秩数为 n-r 的矩阵 B，使得 AB=0.
五、（共 10 分）设向量组
m
,,,
21
线性无关，
121
,,,,
m
线性相关且
221
,,,,
m
线性无关.证明：对任意数 c，向量组
2121
,,,,
c
m
必线性无关.
六、（共 10 分）设多项式
)(xf
与
)(xg
互质，且
)(xf
没有常数项，已知 A,B 均为 n 阶矩阵，
若
0)( Af
，且
n
Bg
Ag
r
)(0
0)(
,证明：B 可逆.
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