2009吉林大学高等代数1期末考试1

这份试卷是2009-2010学年吉林大学高等代数I课程的期末考试，涵盖了多项式理论、矩阵运算、线性方程组的解法、矩阵的逆及秩、向量组的线性相关性以及多项式的性质等多个核心知识点。 一、多项式的标准分解 题目要求在有理数域上对多项式25)(234xxxxxf进行标准分解。这涉及到因式分解，目标是将多项式分解成不可约因子的乘积。标准分解通常指的是将多项式分解为线性因子和/或二次因子的乘积，且每个因子都是不可约的。在有理数域上，不可约的二次多项式形式通常是ax^2+bx+c，其中判别式b^2-4ac为负数。 二、矩阵的代数余子式与余子式之和 对于给定的矩阵D，我们需要计算其第一列元素的代数余子式与余子式之和。代数余子式是通过去掉某一行和某一列后得到的行列式的值，乘以(-1)^(i+j)，其中i和j分别是被去掉的行和列的索引。而余子式仅仅是去掉某一行和某一列后的行列式值。第一列元素的代数余子式之和加上余子式之和，通常用于求解线性方程组或进行矩阵的运算。 三、矩阵的乘法 题目给出了三阶矩阵A和X的乘法关系IXAAAX3~~1 ，并给出了A的具体形式。解决这个问题需要利用矩阵乘法的定义，即(AX)_{ij} = \sum_k A_{ik}X_{kj}，通过这个公式，可以逐步求解未知矩阵X的元素。 四、矩阵的逆与秩 题目要求证明，对于n阶矩阵A，r(A)=r当且仅当A中有一个r阶非奇异子块，并且存在秩数为n-r的矩阵B使得AB=0。这里的r是矩阵A的秩。这涉及到了矩阵的秩与逆的关系，非奇异子块意味着该子矩阵的行列式非零，因此它是可逆的，这与矩阵A的秩相等的条件是一致的。同时，AB=0意味着B是A的零空间的基，进一步关联到矩阵的秩。 五、向量组的线性相关性 题目中涉及到线性无关和线性相关的概念。如果一个向量组中的任何向量不能表示为其他向量的线性组合，则该向量组线性无关。题目指出，向量组m1, ..., m线性无关，而121,,,,m线性相关，但221,,,,m线性无关。这里需要用到线性组合的性质来证明向量组2121,,,,cm的线性无关性。 六、矩阵的逆与多项式 最后一个问题涉及到矩阵的逆和多项式。题目给出两个多项式xf和xg互质，且xf没有常数项。又因为0)(Af和nBgAgr)(00)(，需要证明B可逆。这需要利用多项式环的性质和矩阵的逆与多项式的乘积，特别是由于xf与xg互质，它们的乘积可以表示为矩阵B的逆的某种形式。 这些题目全面考察了学生的矩阵运算、线性代数基础理论以及抽象代数的初步知识，对理解和应用高等代数概念有很高的要求。