2012吉林大学高等代数1期末考试1
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吉林大学 2012-2013 学年第一学期“高等代数 I”期末考试试题
共七道大题 满分 100 分 时间 120 分钟
一、（共 35 分）
1、求多项式
15555)(
2345
xxxxxxf
在有理数域上的标准分解；
2、设
,,,
321
均为三元列向量，矩阵
),,(
321
A
，
),3,(
211
B
.
已知
1|| A
，
1|| B
.求
|2| BA
.
3、设 A,B 都为三阶矩阵，且 AB-A
-
1
BA=I.已知
100
020
012
A
，求 B.
二、（共 10 分）设
)(xd
为
)(xf
与
)(xg
的一个最大公因式，且
)(| xdx
，并设 A 是 n 阶矩阵，
满足
0)()( AgAf
，求证：A 可逆.
三、（共 15 分）讨论方程组
axxx
xxx
axxx
22
32
2
321
321
321
解的情况，并在有解时求出其所有解.
四、（共 15 分）设 A,B,C,D 均为 n 阶方阵，AB=BA, BC=CB.证明：
（1）若 A 可逆，求证：
|||| ACDAB
BDAC
BA
；
（2）探究 A 不可逆时上式的正确性.
五、（共 15 分）设 A 为 n 阶 r 秩方阵.证明：
（1）存在 n 阶 r 秩方阵 B，ABA=A；
（2）（1）中 B 唯一当且仅当 A 可逆.
六、（共 10 分）设向量组
)2(,,,,,,,
2121
m
mm
的秩为 m，且
m
,,,
21
线性
无关.证明：存在无穷多个数
c
，向量组
11
c
,
22
c
,…,
mm
c
线性无关.
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