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最小二乘法曲线拟合_原理及matlab实现.docx

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曲线拟合（curve-fitting）：

工程实践中，用测量到的一些离散的数据

{(x , y ),i  0,1, 2,...m}求一个近似的函数 ( ) 来拟合这组数据，要求所得的拟合曲

 x

 

线能最好的反映数据的基本趋势（即使 ( ) 最好地逼近 f x ，而不必满足插值

 x

(x )

= y ，只要使  (x )  y 尽可能地小）。

原则。因此没必要取

原理：

 

给定数据点

{(x , y ),i 

0,1,

2,...

。求近似曲线 x 。并且使得近似曲线与 f x 的偏差最

( )

 ( )

 x  y

小。近似曲线在该点处的偏差

，i=1,2,...,m。

常见的曲线拟合方法:

1.使偏差绝对值之和最小

2.使偏差绝对值最大的最小

3.使偏差平方和最小

最小二乘法：

按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为

最小二乘法。

推导过程：

1. 设拟合多项式为：

(x)  a  a x ... a x



2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：

3. 问题转化为求待定系数a ... a 对等式右边求a 偏导数，因而我们得到了：

.......

4、把这些等式化简并表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：

5. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:

6. 也就是说 X*A=Y，那么 A = (X'*X)-1*X'*Y，便得到了系数矩阵A，同时，我们也就得

到了拟合曲线。

MATLAB 实现：

MATLAB 提供了 polyfit（）函数命令进行最小二乘曲线拟合。

调用格式：p=polyfit(x,y,n)

[p,s]= polyfit(x,y,n)

[p,s,mu]=polyfit(x,y,n)

x,y 为数据点，n 为多项式阶数，返回 p 为幂次从高到低的多项式系数向量 p。x

必须是单调的。矩阵 s 包括 R（对 x 进行 QR 分解的三角元素）、df(自由度）、

normr(残差）用于生成预测值的误差估计。

[p,s,mu]=polyfit(x,y,n)在拟合过程中，首先对 x 进行数据标准化处理，以在拟合

中消除量纲等影响，mu 包含标准化处理过程中使用的 x 的均值和标准差。

polyval( )为多项式曲线求值函数，调用格式： y=polyval(p,x)

[y,DELTA]=polyval(p,x,s)

y=polyval(p,x)为返回对应自变量 x 在给定系数 P 的多项式的值。

[y,DELTA]=polyval(p,x,s) 使用 polyfit 函数的选项输出 s 得出误差估计 Y DELTA。它

假设 polyfit 函数数据输入的误差是独立正态的，并且方差为常数。则Y DELTA将

至少包含 50%的预测值。

如下给定数据的拟合曲线：

x=[,,,,,]，

y=[,,,,,]。

解：MATLAB 程序如下：

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