最小二乘法曲线拟合_原理及matlab实现 (2).docx
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2022-11-03
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曲线拟合〔curve-fitting〕：
工程实践中，用测量到的一些离散的数据
{(x , y ),i 0,1, 2,...m}求一个近似的函数(x) 来拟合这组数据，要求所得的拟合曲
i
i
线能最好的反映数据的根本趋势〔即使 ( ) 最好地逼近 f x ，而不必满足插值
x
(x )
= y ，只要使 (x ) y 尽可能地小〕。
原则。因此没必要取
i
i
i
i
i
原理：
给定数据点
{(x , y ),i 0,1, 2,...m}
。求近似曲线
(x)
。并且使得近似曲线与 f x 的偏差最
i
i
( )
x y
小。近似曲线在该点处的偏差
，i=1,2,...,m。
i
i
i
常见的曲线拟合方法:
最小二乘法：
按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线，并且采取二项式方程为拟合曲线的方法,称为
最小二乘法。
推导过程：
1. 设拟合多项式为：
2. 各点到这条曲线的距离之和，即偏差平方和如下：
3. 问题转化为求待定系数a ... 对等式右边求a 偏导数，因而我们得到了：
a
0
k
i
.......
4、 把这些等式化简并表示成矩阵的形式，就可以得到下面的矩阵：
5. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到:
6. 也就是说 X*A=Y，那么 A = (X'*X)-1*X'*Y，便得到了系数矩阵 A，同时，我们也
就得到了拟合曲线。
MATLAB 完成：
MATLAB 提供了 polyfit〔〕函数命令进行最小二乘曲线拟合。
调用格式：p=polyfit(x,y,n)
[p,s]= polyfit(x,y,n)
[p,s,mu]=polyfit(x,y,n)
x,y 为数据点，n 为多项式阶数，返回 p 为幂次从高到低的多项式系数向量 p。x
必须是单调的。矩阵 s 包含 R〔对 x 进行 QR 分解的三角元素〕、df(自由度〕、
normr(残差〕用于生成预测值的误差估量。
[p,s,mu]=polyfit(x,y,n)在拟合过程中，首先对 x 进行数据标准化处理，以在拟合
中排除量纲等影响，mu 包含标准化处理过程中使用的 x 的均值和标准差。
polyval( )为多项式曲线求值函数，调用格式： y=polyval(p,x)
[y,DELTA]=polyval(p,x,s)
y=polyval(p,x)为返回对应自变量 x 在给定系数 P 的多项式的值。
[y,DELTA]=polyval(p,x,s) 使用 polyfit 函数的选项输出 s 得出误差估量 Y DELTA。
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