曲线拟合( curve-fitting ):
工程实践中,用测量到的一些离散的数据
{(x
i
, y
i
),i 0,1,2,...m}
求一个近似的函数
(x)
来拟合这组数据,要求所得的拟合曲线能最
好的反映数据的基本趋势(即使
(x)
最好地逼近
f
x
,而不必满足插值原则。因此没必
要 取
(x
i
)
=
y
i
, 只 要 使
i
(x
i
) y
i
尽 可 能 地 小 ) 。
原理:
给定数据点
{(x
i
, y
i
),i 0,1,2,...m}
。求近似曲线
(x)
。并且使得近似曲线与
f
x
的偏
差最小。近似曲线在该点处的偏差
i
(x
i
) y
i
,i=1,2,...,m。
常见的曲线拟合方法:
1.使偏差绝对值之和最小
2.使偏差绝对值最大的最小
3.使偏差平方和最小
最小二乘法:
按偏差平方和最小的原则选取拟合曲线,并且采取二项式方程为拟合曲线的
方法,称为最小二乘法。
推导过程:
1. 设拟合多项式为:
2. 各点到这条曲线的距离之和,即偏差平方和如下:
3. 问题转化为求待定系数
a
0
...
a
k
对等式右边求
a
i
偏导数,因而我们得到
了:
.......
4、 把这些等式化简并表示成矩阵的形式,就可以得到下面的矩阵:
5. 将这个范德蒙得矩阵化简后可得到: