最小二乘法曲线拟合-原理及matlab实现.pdf

最小二乘法是一种在工程和科学领域广泛应用的曲线拟合技术，它的主要目的是找到一条能够最佳反映一组离散数据点趋势的数学曲线。这个方法基于最小化偏差平方和的原则，即寻找一条曲线使得所有数据点到该曲线的垂直距离（偏差）的平方和最小。 在最小二乘法中，通常采用多项式来拟合数据。设有一组数据点{(xi, yi)，i = 0, 1, 2, ..., m}，拟合的多项式形式可以写作 k阶多项式： φ(x) = a0 + a1x + a2x^2 + ... + akx^k 要最小化偏差平方和，我们定义误差函数E为所有偏差平方的和： E = Σ(δi^2) = Σ[(φ(xi) - yi)^2] 通过求解误差函数E关于各系数ai的偏导数并令其等于零，我们可以建立一个线性方程组来求解这些系数。将方程组表示为矩阵形式，即AX = Y，其中A是包含x值的矩阵，X是系数向量，Y是y值的向量。通过求解A的伪逆(A' * A)^-1 * A'，可以得到系数矩阵A，从而得到拟合曲线的系数。 MATLAB提供了方便的函数`polyfit`来实现最小二乘法曲线拟合。例如，给定数据点x和y，可以使用`p=polyfit(x,y,2)`来拟合二次多项式，其中2是多项式的阶数。函数`polyval`则用于根据得到的系数向量p计算给定x值对应的y值。 例如，对于数据点x=[0.5,1.0,1.5,2.0,2.5,3.0]和y=[1.75,2.45,3.81,4.80,7.00,8.60]，运行MATLAB程序后，得到拟合的二次多项式y=0.5614x^2+0.8287x+1.1560。这个多项式可以用来预测在给定x值下的y值。 为了检验拟合的有效性，可以对比拟合区间和非拟合区间的数据。比如在[0, π]区间上对正弦函数进行拟合，然后在[0, 2π]区间画出图形。通过比较拟合曲线和实际函数的图形，可以评估拟合的质量。在MATLAB中，使用`polyfit`拟合后的多项式可以在更大的范围内进行预测，但需要注意拟合的局限性，即在未参与拟合的数据段上，预测可能不准确。 总结起来，最小二乘法是一种强大的工具，用于从有限的数据点中构建模型，尤其在处理噪声数据时。MATLAB的`polyfit`和`polyval`函数提供了便捷的实现方式，使得在实际应用中曲线拟合变得简单易行。然而，拟合的准确性和有效性依赖于数据的质量、选择的多项式阶数以及拟合区间的选择。