曲线拟合线性最小二乘法及其MATLAB程序.docx
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2022-06-24
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1 曲线拟合的线性最小二乘法及其 MATLAB 程序
(x , y )
例 7.2.1 给出一组数据点列入表
7–2 中，试用线性最小二乘法求拟合曲线，
i i
并用（7.2），（7.3）和（7.4）式估计其误差，作出拟合曲线.
(x , y )
表 7–2 例 7.2.1 的一组数据
i i
xi
yi
2.7
-2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1
-192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.50 68.04
1.5 3.6
解 （1）在 MATLAB 工作窗口输入程序
x=[-2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6];
>>
y=[-192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.50
68.04];
plot(x,y,'r*'),
legend('实验数据(xi,yi)')
xlabel('x'), ylabel('y'),
title('例 7.2.1 的数据点(xi,yi)的散点图')
运行后屏幕显示数据的散点图（略）.
（3）编写下列 MATLAB 程序计算在
>> syms a1 a2 a3 a4
f (x) (x , y )
处的函数值，即输入程序
i i
x=[-2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6];
fi=a1.*x.^3+ a2.*x.^2+ a3.*x+ a4
运行后屏幕显示关于 a ,a , a3 和 a4 的线性方程组
1 2
fi =[ -125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4,
-4913/1000*a1+289/100*a2-17/10*a3+a4,
-1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*a3+a4,
-64/125*a1+16/25*a2-4/5*a3+a4,
a4, 1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4,
27/8*a1+9/4*a2+3/2*a3+a4, 19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4,
5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4]
编写构造误差平方和的 MATLAB 程序
y=[-192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.50
>>
68.04];
fi=[-125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4,
-4913/1000*a1+289/100*a2-17/10*a3+a4,
-1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*a3+a4,
-64/125*a1+16/25*a2-4/5*a3+a4,
1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4,
27/8*a1+9/4*a2+3/2*a3+a4,
a4,
19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4,
5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4];
fy=fi-y; fy2=fy.^2; J=sum(fy.^2)
运行后屏幕显示误差平方和如下
J=
(-125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4+1929/10)^2+(-4913/1000*a1+2
89/100*a2-17/10*a3+a4+171/2)^2+(-1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*
a3+a4+723/20)^2+(-64/125*a1+16/25*a2-4/5*a3+a4+663/25)^2+(a4+91
/10)^2+(1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4+843/100)^2+(27/8*a1+9/4*a
2+3/2*a3+a4+328/25)^2+(19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4-13/
2)^2+(5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4-1701/25)^2
J
a , a , a , a
0
(k
1,2,3,4)
，
为求使达到
J 最小，只需利用极值的必要条件
a
1 2 3 4
k
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