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曲线拟合_线性最小二乘法及其MATLAB程序 (2).pdf
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1 曲线拟合的线性最小二乘法及其 MATLAB 程序
例 7.2.1 给出一组数据点
(x
i
, y
i
)
列入表 7–2 中,试用线性最小二乘法求拟合曲线,并用(7.2),(7.3)
和(7.4)式估计其误差,作出拟合曲线.
表 7–2 例 7.2.1 的一组数据
(x
i
, y
i
)
xi
yi
-2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5
2.7
3.6
-192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.50 68.04
解 (1)在 MATLAB 工作窗口输入程序
>>
x=[-2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6];
y=[-192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.50 68.04];
plot(x,y,'r*'),
legend('实验数据(xi,yi)')
xlabel('x'), ylabel('y'),
title('例7.2.1的数据点(xi,yi)的散点图')
运行后屏幕显示数据的散点图(略).
(3)编写下列 MATLAB 程序计算
f (x)
在
(x
i
, y
i
)
处的函数值,即输入程序
>> syms a1 a2 a3 a4
x=[-2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6];
fi=a1.*x.^3+ a2.*x.^2+ a3.*x+ a4
运行后屏幕显示关于
a
1
,a
2
, a
3
和
a
4
的线性方程组
fi =[ -125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4, -4913/1000*a1+289/100*a2-17/10*a3+a4,
-1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*a3+a4, -64/125*a1+16/25*a2-4/5*a3+a4,
a4, 1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4, 27/8*a1+9/4*a2+3/2*a3+a4,
19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4, 5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4]
编写构造误差平方和的 MATLAB 程序
>>
y=[-192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.50 68.04];
fi=[-125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4, -4913/1000*a1+289/100*a2-17/10*a3+a4,
-1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*a3+a4, -64/125*a1+16/25*a2-4/5*a3+a4,
a4, 1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4, 27/8*a1+9/4*a2+3/2*a3+a4,
19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4,
5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4];
fy=fi-y; fy2=fy.^2; J=sum(fy.^2)
运行后屏幕显示误差平方和如下
J=
(-125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4+1929/10)^2+(-4913/1000*a1+289/100*a2-17/10*a
3+a4+171/2)^2+(-1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*a3+a4+723/20)^2+(-64/125*a1+16/25*a
2-4/5*a3+a4+663/25)^2+(a4+91/10)^2+(1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4+843/100)^2+(27/
8*a1+9/4*a2+3/2*a3+a4+328/25)^2+(19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4-13/2)^2+(58
32/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4-1701/25)^2
为求
a
1
, a
2
, a
3
, a
4
使
J
达到最小,只需利用极值的必要条件
J
0
(k 1,2,3,4)
,得到关于
a
1
, a
2
, a
3
, a
4
a
k
的线性方程组,这可以由下面的 MATLAB 程序完成,即输入程序
>> syms a1 a2 a3 a4
J=(-125/8*a1+25/4*a2-5/2*a3+a4+1929/10)^2+(-4913/1000*a1+289/100*a2-17/10*
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a3+a4...+171/2)^2+(-1331/1000*a1+121/100*a2-11/10*a3+a4+723/20)^2+(-64/125*a1+16/
25*a2-4/5*a3+a4+663/25)^2+(a4+91/10)^2+(1/1000*a1+1/100*a2+1/10*a3+a4+843/100)^2+
(27/8*a1+9/4*a2+3/2*a3+a4+328/25)^2+(19683/1000*a1+729/100*a2+27/10*a3+a4-13/2)^2
+(5832/125*a1+324/25*a2+18/5*a3+a4-1701/25)^2;
Ja1=diff(J,a1); Ja2=diff(J,a2); Ja3=diff(J,a3); Ja4=diff(J,a4);
Ja11=simple(Ja1), Ja21=simple(Ja2), Ja31=simple(Ja3), Ja41=simple(Ja4),
运行后屏幕显示
J
分别对
a
1
, a
2
,a
3
,a
4
的偏导数如下
Ja11=
56918107/10000*a1+32097579/25000*a2+1377283/2500*a3+23667/250*a4-8442
429/625
Ja21 =
32097579/25000*a1+1377283/2500*a2+23667/250*a3+67*a4+767319/625
Ja31 =
1377283/2500*a1+23667/250*a2+67*a3+18/5*a4-232638/125
Ja41 =
23667/250*a1+67*a2+18/5*a3+18*a4+14859/25
解线性方程组
Ja
11
=0,
Ja
21
=0,
Ja
31
=0,
Ja
41
=0,输入下列程序
>>A=[56918107/10000, 32097579/25000, 1377283/2500, 23667/250; 32097579/25000,
1377283/2500, 23667/250, 67; 1377283/2500, 23667/250, 67, 18/5; 23667/250, 67, 18/5,
18];
B=[8442429/625, -767319/625, 232638/125, -14859/25];
C=B/A, f=poly2sym(C)
运行后屏幕显示拟合函数
f
及其系数
C
如下
C = 5.0911 -14.1905 6.4102 -8.2574
f=716503695845759/140737488355328*x^3
-7988544102557579/562949953421312*x^2
+1804307491277693/281474976710656*x
-4648521160813215/562949953421312
故所求的拟合曲线为
f ( x) 5.0911 x
3
14.1905 x
2
6.4102 x 8.2574
.
(4)编写下面的 MATLAB 程序估计其误差,并作出拟合曲线和数据的图形.输入程序
>>
xi=[-2.5 -1.7 -1.1 -0.8 0 0.1 1.5 2.7 3.6];
y=[-192.9 -85.50 -36.15 -26.52 -9.10 -8.43 -13.12 6.50 68.04];
n=length(xi);
f=5.0911.*xi.^3-14.1905.*xi.^2+6.4102.*xi -8.2574;
x=-2.5:0.01: 3.6;
F=5.0911.*x.^3-14.1905.*x.^2+6.4102.*x -8.2574;
fy=abs(f-y); fy2=fy.^2; Ew=max(fy),
E1=sum(fy)/n, E2=sqrt((sum(fy2))/n)
plot(xi,y,'r*'), hold on, plot(x,F,'b-'), hold off
legend('数据点(xi,yi)','拟合曲线y=f(x)'),
xlabel('x'), ylabel('y'),
title('例7.2.1的数据点(xi,yi)和拟合曲线y=f(x)的图形')
运行后屏幕显示数据
(x
i
, y
i
)
与拟合函数
f
的最大误差
E
w
,平均误差
E
1
和均方根误差
E
2
及其数据点
(x
i
, y
i
)
和拟
合曲线
y
=
f
(
x
)的图形(略).
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Ew = E1 = E2 =
3.105 4 0.903 4 1.240 9
7.3 函数
r
k
(x)
的选取及其 MATLAB 程序
例7.3.1 给出一组实验数据点
(x
i
, y
i
)
的横坐标向量为
x
=(
-8.5,-8.7,-7.1,-6.8,-5.10,-4.5,-3.6,-3.4,-2.6,-2.5, -2.1,-1.5, -2.7,-3.6
),纵
横坐标向量为
y
=(
459.26,52.81,198.27,165.60,59.17,41.66,25.92, 22.37,13.47, 12.87, 11.87,6.69,14.87,24.22
)
,试用
线性最小二乘法求拟合曲线,并用(7.2),(7.3)和(7.4)式估计其误差,作出拟合曲线.
解 (1)在 MATLAB 工作窗口输入程序
>>
x=[-8.5,-8.7,-7.1,-6.8,-5.10,-4.5,-3.6,-3.4,-2.6,-2.5, -2.1,-1.5,
-2.7,-3.6];
y=[459.26,52.81,198.27,165.60,59.17,41.66,25.92, 22.37,13.47, 12.87,
11.87,6.69,14.87,24.22];
plot(x,y,'r*'),legend('实验数据(xi,yi)')
xlabel('x'), ylabel('y'),
title('例7.3.1的数据点(xi,yi)的散点图')
运行后屏幕显示数据的散点图(略).
(3)编写下列 MATLAB 程序计算
f (x)
在
(x
i
, y
i
)
处的函数值,即输入程序
>> syms a b
x=[-8.5,-8.7,-7.1,-6.8,-5.10,-4.5,-3.6,-3.4,-2.6,-2.5,-2.1,-1.5,-2.7,-3.6
]; fi=a.*exp(-b.*x)
运行后屏幕显示关于
a
和
b
的线性方程组
fi =
[ a*exp(17/2*b), a*exp(87/10*b), a*exp(71/10*b), a*exp(34/5*b),
a*exp(51/10*b), a*exp(9/2*b), a*exp(18/5*b), a*exp(17/5*b), a*exp(13/5*b),
a*exp(5/2*b), a*exp(21/10*b), a*exp(3/2*b), a*exp(27/10*b), a*exp(18/5*b)]
编写构造误差平方和的 MATLAB 程序如下
>>
y=[459.26,52.81,198.27,165.60,59.17,41.66,25.92,22.37,13.47,12.87, 11.87,
6.69,14.87,24.22];
fi =[ a*exp(17/2*b), a*exp(87/10*b), a*exp(71/10*b), a*exp(34/5*b),
a*exp(51/10*b), a*exp(9/2*b), a*exp(18/5*b), a*exp(17/5*b),
a*exp(13/5*b), a*exp(5/2*b), a*exp(21/10*b), a*exp(3/2*b),
a*exp(27/10*b), a*exp(18/5*b)];
fy=fi-y;
fy2=fy.^2;
J=sum(fy.^2)
运行后屏幕显示误差平方和如下
J =
(a*exp(17/2*b)-22963/50)^2+(a*exp(87/10*b)-5281/100)^2+(a*exp(71/10*b)-19
827/100)^2+(a*exp(34/5*b)-828/5)^2+(a*exp(51/10*b)-5917/100)^2+(a*exp(9/2*b)-2083
/50)^2+(a*exp(18/5*b)-648/25)^2+(a*exp(17/5*b)-2237/100)^2+(a*exp(13/5*b)-1347/10
0)^2+(a*exp(5/2*b)-1287/100)^2+(a*exp(21/10*b)-1187/100)^2+(a*exp(3/2*b)-669/100)
^2+(a*exp(27/10*b)-1487/100)^2+(a*exp(18/5*b)-1211/50)^2
为求
a,b
使
J
达到最小,只需利用极值的必要条件,得到关于
a,b
的线性方程组,这可以由下面的 MATLAB
程序完成,即输入程序
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