曲线拟合_线性最小二乘法及其MATLAB程序.pdf

线性最小二乘法是一种广泛应用于数据拟合的统计方法，尤其在计算机科学（cs）领域，它在处理实验数据时十分有用。该方法的目标是找到一条直线或曲线，使得这条曲线通过数据点的误差平方和最小。在这个例子中，我们将讨论如何使用MATLAB来实现线性最小二乘法对给定数据进行曲线拟合。 我们有一组实验数据点(xi, yi)，如表7-2所示。这些点表示了x和y之间的关系，但可能不是简单的线性关系。为了拟合这些数据，我们选择了一个三次多项式模型f(x) = a1*x^3 + a2*x^2 + a3*x + a4，其中a1, a2, a3, a4是待求的系数。 在MATLAB中，我们首先定义了x和y的向量，然后通过符号运算符syms创建了符号变量a1, a2, a3, a4。接下来，我们计算了f(x)在每个数据点(xi, yi)处的函数值fi，并得到了关于a1, a2, a3, a4的线性方程组。这个方程组的构造是基于要求f(x)在每个数据点上的偏差fi - yi的平方和最小，也就是误差平方和J最小。 MATLAB程序接着计算了误差平方和J，它是所有偏差平方的和。通过求导数并设置为零，我们可以找到使J达到最小的a1, a2, a3, a4值，这对应于最小二乘法的解。在MATLAB中，可以通过建立J关于a1, a2, a3, a4的表达式，然后求解这个非线性系统来实现。 求解这个线性方程组通常可以使用MATLAB的内置函数，例如lsqnonlin或lsqcurvefit。这些函数会自动寻找最优的系数值，从而给出最佳拟合曲线。拟合曲线绘制出来后，可以使用MATLAB的plot函数展示数据点和拟合曲线，帮助我们直观地理解拟合的效果。 通过线性最小二乘法，我们可以得到一个最佳拟合曲线，这个曲线尽可能地接近所有的数据点。此外，还可以根据拟合结果计算预测值和实际值之间的误差，例如用（7.2）、（7.3）和（7.4）式估计误差。这种方法对于数据分析、模型建立以及预测等任务非常重要，特别是在处理噪声数据或非线性关系时。 总结来说，线性最小二乘法是利用MATLAB进行数据拟合的一种强大工具，它可以处理复杂的曲线拟合问题，并找到一组系数使得误差平方和最小。通过编写和运行MATLAB程序，我们可以有效地求解这个问题，从而获得一个最佳的拟合模型。