一阶倒立摆的LQR最优控制

目录

一级直线倒立摆的最优控制.....................................................................................2

1 前言..................................................................................................................2

2 基本知识............................................................................................................3

2.1 MATLAB 简介...........................................................................................3

2.2 线性二次型控制基本理论............................................................................4

2.3 一阶倒立摆数学模型的建立.........................................................................5

3 线性二次型最优控制设计与仿真............................................................................8

一级直线倒立摆的最优控制

摘要：倒立摆控制系统是一个复杂的、不稳定的、非线性系统,是进行控制理论

教学及开展各种控制实验的理想实验平台。本文研究了一阶倒立摆控制系统的

数学模型及其建立方法。在 MATLAB 中使用 simulink 进行了一阶直线倒立摆

的 LQR 控制仿真实验。分析了 LQR 控制中 Q 和 R 参数对控制效果的影响。

关键词：MATLAB; 一阶倒立摆; LQR

Optimal control of one-stage linear inverted

pendulum

Abstract: The inverted pendulum control system is a complex, unstable and

nonlinear system. It is an ideal experimental plaorm for teaching control theory and

conducng various control experiments. This paper studies the mathemacal model

倒立摆控制系统是一个不稳定的、复杂的、非线性系统, 主要是由导轨、

小车和各级摆杆组成。其在控制理论教学中有重要的作用，同时它也是开展各

种控制实验的的理想实验平台。非线性问题、鲁棒性问题、镇定问题、随动问

题以及跟踪问题等各种控制中的典型问题都可以通过对倒立摆系统的研究得到

有效的反映。通过对倒立摆的控制，可以用来检验新的控制方法是否有较强的

处理非线性和不稳定性问题的能力。

本课题在深入理解倒立摆基本原理的基础上，确立单级倒立摆控制为本文

的研究课题。单级倒立摆系统是一个典型多变量、不稳定和强耦合的非线性系

统。 它的这些特性使得许多抽象的控制理论概念如系统稳定性、可控性等等，

都可以通过单级倒立摆系统实验直观的表现出来。而作为实验装置，它本身又

2 基本知识

2.1 MATLAB 简介

MATLAB 是美国 Math Works 软件公司于 1984 年推出的一种用于科学计

算的高性能语言。它集数值计算、图形图像显示以及编程于一体 , 是常用的控

制系统分析与设计工具。1990 年, MathWorks 软件公司为 MATLAB 提供了

新的控制系统

图形化模型输入与仿真工具 Simulink。这是 MATLAB 的一个扩展软件模

块。该模块提供了一个建模、分析与仿真等多种物理与数学问题的软件环境 ,

并为图形用户界面提供了动态系统的结构方块图模型 , 从而使用户可以既快又

方便地对系进行建模、仿真, 而不必写任何代码程序。因此该工具很快就在控

制工程界获得了广泛的认可,并使仿真软件进入了系统模型的图形组态阶段。

2.2 线性二次型控制基本理论

如果所研究的系统是线性的，且性能指标为状态变量和控制变量的二次型

确定下列最佳控制向量的矩阵 K：

使得性能指标达到最小值：

式中 Q 和 R 分别是 X 和 u 的加权矩阵，用来平衡状态向量和输入向量的权

重，确定了误差和能量损耗的相对重要性；Q 为半正定阵，R 为正定阵。

假设控制向量 是无约束的，根据最优控制理论，可以得到最优控制率为：