LQR最优控制器设计

### LQR最优控制器设计 #### 一、线性二次型最优控制概述 线性二次型(LQR)最优控制器设计是一种基于状态空间技术的优化方法，主要用于设计动态控制器。该方法适用于线性系统，并且目标函数通常被定义为状态变量和控制输入的二次型函数。在工程实践中，经典的控制理论虽然能够很好地解决一些简单的、确定性的系统控制问题，但对于多输入多输出(MIMO)系统或高阶系统等复杂情况则显得力不从心。在这种情况下，LQR最优控制器因其强大的适用性和优化能力成为了一种重要的解决方案。 线性二次型最优控制的目标是在满足一定的约束条件下，通过调整控制输入，使系统的某个性能指标达到最优。这个性能指标通常定义为一个二次型函数，该函数反映了系统的性能特性，如稳定性、快速响应性或者能量消耗最小化等。LQR最优控制的设计过程主要包括两大部分： 1. **具有状态反馈的线性二次型最优控制问题**（简称LQ问题）：这是最基本的LQR控制设计，旨在寻找最优的状态反馈控制律，以实现给定的性能指标最小化。 2. **线性二次型Gauss最优控制问题**：这类问题主要关注于存在随机噪声的情况，通常采用卡尔曼滤波器来估计系统的状态。 #### 二、连续系统线性二次型最优控制 连续系统的线性二次型最优控制是LQR控制中最常见的一种形式。它涉及的是连续时间线性系统的最优控制问题。 1. **连续系统线性二次型最优控制原理** 对于一个连续时间线性系统，其状态方程可以表示为： \[ \dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t) \] 其中，\(x(t)\) 是状态向量，\(u(t)\) 是控制输入向量，\(A\) 和 \(B\) 分别是状态矩阵和输入矩阵。 目标函数定义为： \[ J = \int_{0}^{\infty} [x(t)^T Q x(t) + u(t)^T R u(t)] dt \] 其中，\(Q\) 和 \(R\) 分别是状态向量和控制向量的权重矩阵。 为了使目标函数 \(J\) 最小化，可以推导出最优控制律： \[ u^*(t) = -Kx(t) \] 其中，\(K\) 是最优反馈增益矩阵，可以通过求解黎卡蒂(Riccati)方程得到。 2. **黎卡蒂方程** 黎卡蒂方程是求解最优反馈增益矩阵 \(K\) 的关键。黎卡蒂方程的形式为： \[ PA + A^TP - PB(R^{-1}B^TP) + Q = 0 \] 其中，\(P\) 是一个正定矩阵，表示了状态变量之间的相互作用关系以及状态变量与控制输入之间的关系。找到满足上述方程的正定矩阵 \(P\) 即可计算出最优反馈增益矩阵 \(K\)。 3. **MATLAB中的LQR函数** MATLAB提供了几个函数用于求解连续系统的线性二次型最优控制问题，包括 `lqr()`、`lqr2()` 和 `lqry()`。这些函数可以方便地求解黎卡蒂方程并获得最优反馈增益矩阵 \(K\)。 以 `lqr()` 函数为例，其基本调用格式为： \[ [K, S, E] = lqr(A, B, Q, R, N) \] 其中，\(A\) 和 \(B\) 分别是系统的状态矩阵和输入矩阵；\(Q\) 和 \(R\) 是性能指标中的权重矩阵；\(N\) 代表交叉项的权重矩阵；\(K\) 是最优反馈增益矩阵；\(S\) 是黎卡蒂方程的解；\(E\) 是矩阵 \(A-BK\) 的特征值。 4. **连续系统二次型最优控制设计实例** 以一个具体的例子说明如何应用MATLAB中的LQR函数进行连续系统二次型最优控制设计。假设系统状态空间表达式为： \[ \begin{aligned} \dot{x}_1 &= x_2 \\ \dot{x}_2 &= 4x_1 + 6x_2 + u \end{aligned} \] 其中，状态向量 \(x = [x_1, x_2]^T\)，控制输入 \(u\)。假设性能指标为： \[ J = \int_{0}^{\infty} (x_1^2 + x_2^2 + u^2) dt \] 可以将此问题转换为标准形式： \[ \dot{x} = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 4 & 6 \end{bmatrix} x + \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix} u \] \[ J = \int_{0}^{\infty} [x^T \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} x + u^2] dt \] 使用MATLAB中的 `lqr()` 函数可以求解此问题： ```matlab A = [0 1; 4 6]; B = [0; 1]; Q = eye(2); R = 1; [K, S, E] = lqr(A, B, Q, R); ``` 这里，\(K\) 就是最优反馈增益矩阵，\(S\) 是黎卡蒂方程的解，\(E\) 表示 \(A-BK\) 的特征值。 通过以上分析，可以看出LQR最优控制器设计不仅能够处理简单的线性系统，而且对于复杂的多输入多输出系统也有很好的适应性和优化效果。LQR控制器的设计和实现大多基于MATLAB这样的专业软件工具，大大简化了设计流程并提高了设计效率。