线性二次型调节器（LQR）是一种基于现代控制理论的最优控制方法，主要针对的是以状态空间形式描述的线性系统。LQR控制器的设计目的是使二次型目标函数J最小化，这通常通过求解Riccati方程来实现。目标函数J可以表示为对状态变量x和控制输入u的加权积分，其中x表示系统状态向量，u表示控制输入向量。
在LQR控制器设计过程中，选择合适的加权矩阵Q和R至关重要。Q和R都是权重矩阵，分别对状态变量和控制输入进行加权。Q是一个n×n维正半定矩阵，R则是一个m×m维正定矩阵。在实际操作中，通常需要通过反复试验的方法来确定Q和R的最佳值。
LQR控制器的设计可以通过Matlab的控制系统工具箱中的lqr()函数来实现。该函数能够直接求解二次型调节器问题，并返回最优反馈增益矩阵K、Riccati方程的正定解P以及A-BK的特征值E。具体的命令格式为[K,P,E]=lqr(A,B,Q,R)，其中A、B是系统状态空间描述中的系统矩阵。
在倒立摆系统的控制实验中，倒立摆的数学模型经过线性化后得到的状态空间表示是设计LQR控制器的基础。倒立摆系统是控制理论中的一个经典问题，因为其非线性特性和不稳定性使其成为验证控制算法性能的典型例子。通过将倒立摆系统线性化，可以使用LQR方法来设计一个控制器，使得摆杆能够在一定时间内保持平衡。
在进行LQR控制器设计时，Q和R的选择原则包括：
1. Q和R都应该是对称矩阵，其中Q是正半定矩阵，R是正定矩阵。
2. 在实际应用中，通常选择Q和R为对角线矩阵。当控制输入只有一个时，可以将R设定为一个标量值（如R=1）。
3. Q的选择不是唯一的，存在多种Q值可以得到满足性能要求的控制器。
作者马娟丽通过设计和仿真验证了LQR控制器的效果，证实了其易于实现并能够达到控制目的，最终在Matlab上实现了LQR系统最优控制器的设计并应用到倒立摆系统中，展示了LQR控制器在实际应用中的稳定性和准确性。通过文章的研究，可以看出LQR控制器设计对于解决复杂的控制系统设计问题具有重要的理论和实践价值。
