立体几何中的向量方法是高中数学中的重要概念，特别是在解决空间几何问题时极其有用。向量不仅能够描述点的位置，还能表示线、面的关系，因此在处理平面与平面、线与线、线与面的关系时，向量法是一种非常直观且有效的方法。
1. 向量的坐标表示和法向量：
向量的坐标是由其起点到终点的各轴上的增量组成的。例如，题目中的向量AB的坐标表示了从点A到点B在x、y、z轴上的位移。平面的法向量则是垂直于该平面的向量，如平面α的法向量n=(1，-1,1)。
2. 向量与平面的关系：
直线AB与平面α相交但不垂直，意味着向量AB不能与法向量n平行。例如，选项D(1,2,3)满足条件，因为它与n=(1，-1,1)不平行。
3. 向量的线性组合与位置关系：
如果AB=λCD+μCE，这表明直线AB可以通过直线CD和CE的线性组合表示，因此AB与平面CDE的位置关系可能是平行或者在平面内。答案D表示AB可能与平面CDE平行，也可能在平面内。
4. 平行与垂直的向量判定：
直线l的方向向量a与平面α的法向量n垂直，意味着l∥α。例如，选项B满足条件，因为a·n=2*(-1)+(-1)*1+3*1=0，表明a⊥n，所以l∥α。
5. 平行六面体的性质：
在平行六面体中，中点连接的线段通常具有平行性。例如，A1M与D1P平行，因为它们都是对角线的一半，所以它们对应于平行的棱。这里正确个数为3，即①、③、④。
6. 法向量与平面垂直的判定：
两个平面垂直，意味着它们的法向量也垂直。题目中u·v=0，解得x=-1，即u与v垂直，因此α⊥β。
7. 平面与平面的位置关系：
当两个平面的法向量垂直时，平面也垂直。此处，a·b=0，所以α⊥β。
8. 平行与垂直的向量性质：
点P在平行四边形ABCD的平面外，AP与AB、AD垂直，表明AP是平面ABCD的法向量。同时，AP与BD不平行，排除④。
9. 正方体中的向量应用：
在正方体中，中点连接线段通常平行于某条对角线，而EF的长度可以通过向量的模长计算得到。此外，EF与平面AA1D1D和平面A1CD的垂直关系可通过向量的数量积判断。
10. 四棱锥中的平行与垂直证明：
在四棱锥P-ABCD中，通过建立空间直角坐标系，可以利用中点向量和法向量来证明线面平行和面面垂直。例如，EF与平面PAB平行，因为EF是PC和PD的中点连线，相当于P到AB的投影，因此EF平行于AB在底面上的投影AD1。同时，平面PAD和PDC的法向量可以证明它们之间的垂直关系。
总结来说，这些题目考察了向量的坐标表示、向量与平面的关系、线性组合的几何意义、向量的平行与垂直判定、以及在多面体中的向量应用，这些都是高考数学复习中的核心知识点。掌握这些知识能帮助学生有效地解决立体几何问题。
