新课标2018届高考数学二轮复习专题五立体几何专题能力训练15立体几何中的向量方法理

立体几何中的向量方法是高中数学中解决空间问题的重要工具，尤其在高考数学复习中占有重要地位。在新课标2018届高考数学二轮复习中，专题五集中探讨了这一方法，旨在提高学生的空间想象能力和逻辑推理能力。 在立体几何中，向量方法常常用于证明线面平行、线面垂直、计算面面角和线面角的正弦值或余弦值。例如，问题1中的第(1)问，通过向量运算证明EG与平面ADF平行的关键在于找到平面ADF的法向量，并利用线向积等于零来证明线面平行。第(2)问和第(3)问则涉及到了二面角的求解，这需要找到两个平面的法向量并计算它们的夹角，进一步求出二面角的正弦值。 在问题2中，证明AO⊥BE同样可以通过向量垂直的条件，即两向量的数量积为零。而二面角的余弦值的计算则需要构建合适的坐标系，找到相关向量，然后应用向量夹角公式。 问题13和24中的题目也展示了如何利用向量方法处理复杂的空间几何问题，包括求解线面角、判断线线平行或垂直等。例如，第13题中，要求解∠CBP的大小，可以通过建立旋转体的坐标系，找到相关向量，再运用向量的夹角公式。 问题5则进一步扩展到四棱锥，涉及到线面角的正弦值和中点性质。在证明M是PB的中点时，可以利用中点向量的特性。而二面角B-PD-A的求解则需要找到平面的法向量，通过向量的夹角来确定二面角的大小。 在思维提升训练部分，例如第7题，证明DE和PC不可能垂直，可以通过假设DE⊥PC，然后推导出矛盾。第8题中，证明PB∥平面EFG需要用到线面平行的判定定理，而异面直线EG与BD所成角的余弦值则需要通过向量叉乘和向量夹角公式求解。 总结来说，立体几何中的向量方法是一种强大的工具，它简化了空间几何问题的分析和求解，通过向量的平行、垂直、数量积和向量积等性质，可以直观地描述和证明空间中的几何关系，是高中数学复习中不可或缺的重点内容。在解题过程中，建立合适的空间直角坐标系，找寻法向量，以及正确应用向量运算规则，是解决问题的关键步骤。