【解析几何专题训练】
在高中数学的复习过程中，解析几何是一个重要的部分，它涉及直线、圆、椭圆、双曲线等几何对象的方程、性质及其相互关系。本专题升级训练28主要针对解答题，重点是提升考生解决实际问题的能力。
1. 直线与圆的交点问题：题目通过直线 mx-(m^2+1)y=4m 与圆 x^2+y^2-8x+4y+16=0 的交点情况，考察了直线斜率的取值范围和直线是否能将圆分割成特定比例的弧。解题时需利用圆心到直线的距离公式，结合圆的半径来确定直线与圆的关系。
2. 直线与圆的交点中点问题：直线 mx-y+1-m=0 对任意实数m与圆 x^2+(y-1)^2=5 始终有两个交点，要求出交点中点M的轨迹方程。解题时，可以先证明直线恒过定点，然后利用中点坐标公式和直线与圆的位置关系来求解。
3. 抛物线与坐标轴的交点和圆的问题：二次函数 f(x)=x^2+2x+b 的三个交点构成的圆，要求b的取值范围和圆的方程。解题时，可以分别令x和y为零，找到抛物线与坐标轴的交点，再根据圆的定义建立方程。
4. 椭圆的几何性质：题目涉及椭圆的标准方程、离心率以及椭圆上的点到焦点的距离。通过椭圆的几何特性，可以求解直线与椭圆的交点，以及线段的垂直平分线的性质。
5. 动点轨迹问题：点P满足与两点A和B的向量关系，求点P的轨迹方程。这类问题通常需要用到向量的平行四边形法则和点到直线的距离公式。
6. 抛物线与比例关系：点P的坐标满足与点A和点B的特定比例关系，同时点M与点P也有类似的比例关系，求点P的轨迹方程。解题时需要分析点Q的位置，利用比例关系推导P的坐标。
7. 平面向量的应用：点P的轨迹与到定点的距离差为常数，这是双曲线的定义，要求轨迹方程。此外，考虑两互相垂直的直线与轨迹的交点，利用向量的数量积求最小值。
8. 圆的几何性质：涉及两个圆的内切与外切，以及动圆C的圆心轨迹。要求解圆心轨迹的方程，并探讨与另一个圆的相关性质，如点到线段距离的最值。
以上问题均需要运用解析几何的基本理论，包括直线、圆、椭圆、双曲线的方程，点到直线的距离，圆的性质，以及向量在解析几何中的应用。在解答过程中，要注意几何图形的直观理解，合理地运用代数方法，确保解题过程的严谨性和准确性。通过这样的专项训练，可以提高考生在高考中应对解析几何题目的能力。
