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【总结】Lyapunov 指数的计算方法
非线性理论
近期为了把计算 LE 的一些问题弄清楚,看了有 7~9 本书!下面以吕金虎《混沌
时间序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线,把目前
已有的 LE 计算方法做一个汇总!
1. 关于连续系统 Lyapunov 指数的计算方法 连续系统 LE 的计算方法主要有定义
方法、Jacobian 方法、QR 分解方法、奇异值分解方法,或者通过求解系统的微分
方程,得到微分方程解的时间序列,然后利用时间序列(即离散系统)的 LE 求解
方法来计算得到。关于连续系统 LE 的计算,主要以定义方法、Jacobian 方法做主
要介绍内容。
(1)定义法
1
定义法求解 Lyapunov 指数.JPG
关于定义法求解的程序,和 matlab 板块的“连续系统 LE 求解程序”差不多。以
Rossler 系统为例
Rossler系统微分方程定义程序
function dX = Rossler_ly(t,X)
% Rossler 吸引子,用来计算 Lyapunov 指数
% a=0.15,b=0.20,c=10.0
% dx/dt = -y-z,
% dy/dt = x+ay,
% dz/dt = b+z(x-c),
a = 0.15;
b = 0.20;
c = 10.0;
x=X(1); y=X(2); z=X(3);
% Y 的三个列向量为相互正交的单位向量
Y = [X(4), X(7), X(10);
X(5), X(8), X(11);
X(6), X(9), X(12)];
% 输出向量的初始化,必不可少
dX = zeros(12,1);
% Rossler 吸引子
dX(1) = -y-z;
dX(2) = x+a*y;
dX(3) = b+z*(x-c);
% Rossler 吸引子的 Jacobi 矩阵
Jaco = [0 -1 -1;
1 a 0;
z 0 x-c];
2
dX(4:12) = Jaco*Y;
求解 LE 代码:
% 计算 Rossler 吸引子的 Lyapunov 指数
clear;
yinit = [1,1,1];
orthmatrix = [1 0 0;
0 1 0;
0 0 1];
a = 0.15;
b = 0.20;
c = 10.0;
y = zeros(12,1);
% 初始化输入
y(1:3) = yinit;
y(4:12) = orthmatrix;
tstart = 0; % 时间初始值
tstep = 1e-3; % 时间步长
wholetimes = 1e5; % 总的循环次数
steps = 10; % 每次演化的步数
iteratetimes = wholetimes/steps; % 演化的次数
mod = zeros(3,1);
lp = zeros(3,1);
% 初始化三个 Lyapunov 指数
Lyapunov1 = zeros(iteratetimes,1);
Lyapunov2 = zeros(iteratetimes,1);
Lyapunov3 = zeros(iteratetimes,1);
for i=1:iteratetimes
tspan = tstart:tstep:(tstart + tstep*steps);
[T,Y] = ode45('Rossler_ly', tspan, y);
% 取积分得到的最后一个时刻的值
y = Y(size(Y,1),:);
% 重新定义起始时刻
tstart = tstart + tstep*steps;
y0 = [y(4) y(7) y(10);
y(5) y(8) y(11);
y(6) y(9) y(12)];
%正交化
y0 = ThreeGS(y0);
% 取三个向量的模
mod(1) = sqrt(y0(:,1)'*y0(:,1));
mod(2) = sqrt(y0(:,2)'*y0(:,2));
mod(3) = sqrt(y0(:,3)'*y0(:,3));
y0(:,1) = y0(:,1)/mod(1);
y0(:,2) = y0(:,2)/mod(2);
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