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Lyapunov指数的计算方法.pdf
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【总结】
Lyapunov
指数的计算方法
非线性理论
近期为了把计算 LE 的一些问题弄清楚,看了有 7 9 本书!下面以吕金虎《混沌 时间
序列分析及其应用》、马军海《复杂非线性系统的重构技术》为主线,把目前 已有的
LE 计算方法做一个汇总!
1.关于连续系统 Lyapunov 指数的计算方法 连续系统 LE 的计算方法主要有定义 方
法、Jacobian 方法、QR 分解方法、奇异值分解方法,或者通过求解系统的微分 方
程,得到微分方程解的时间序列,然后利用时间序列(即离散系统)的 LE 求解 方法
来计算得到。关于连续系统 LE 的计算,主要以定义方法、Jacobian 方法做主 要介绍
内容。
(1)定义法
— 对
H
堆连续动力系統
z =
在
—OBJ
孙 味“为中心.|拆(心
0)||
为丰笹啟存
堆的球面*施著时间的演化,在
t
时討该球而
0P
变形为
M
继的椭球厨设滾椭域面的第 / 个坐
标轴方向的半轴长対卩兀|,则诙系统第
i
个指数対*
此即连续系统
Lyapunov
揩较飽定冥
弼计尊时取 |处(心
0)[
为岀
W
为常数),以孔为球心欧几里篇范敢为山的正衮 矢
量集仙测,…叮为初始球.由非线性徴分方崔“尸
㈤
可以分别计算出点細 血创、 引他、r 引址
经过时间
t
后淺化的轨迹役 其终了点分别为珊、砒、f 仙
则令
石
f
陶一心■处严=甩-和,r
亦耳国=略一報#则可得新的矢重棄 叶禺巴…后畀}
由于各牛妥臺在演化过程中舌焙向着是大的
UapurOT IS
数方何靠掘,因此需要通过
Schimdt IE
交化不断地讨新矢量逬行置换.
SP Wolf to
文章中提出的
GSR^
法.表述如下:
播着以他为球心,疤数対
(I
的正奁矢臺料创巴叫叫…伽严;为祈球继续进行演 出 设演化
1
至
N
步时,得到矢董慕冈
㈤
出巴…耳僅牛且
N
足够大,这可以得到
Lyapunov
扌鐵的近似计算
公式三
实际计算时,取为
1
定义法求解 Lyapunov 指数 JPG
关于定义法求解的程序,和 matlab 板块的 连续系统 LE 求解程序”差不多。以
Rossie 啄统为例
Rossler 系统微分方程定义程序
function dX = Rossler_ly(t,X)
% Rossler 吸引子,用来计算 Lyapunov 指数
% a=0.15,b=0.20,c=10.0
% dx/dt = -y-z,
% dy/dt = x+ay,
% dz/dt = b+z(x-c),
a = 0.15;
b = 0.20;
c = 10.0;
x=X(1); y=X(2); z=X(3);
%Y 的三个列向量为相互正交的单位向量
丫
= [X(4), X(7), X(10);
X(5), X(8), X(11);
X(6), X(9), X(12)];
%输出向量的初始化,必不可少
dX = zeros(12,1);
% Rossler 吸引子
dX(1) = -y-z;
dX(2) = x+a*y;
dX(3) = b+z*(x-c);
% Rossler 吸引子的 Jacobi 矩阵
Jaco = [0 -1 -1;
1 a 0; z 0 x-c];
dX(4:12) = Jaco*Y;
求解 LE 代码:
% 计算 Rossler 吸引子的 Lyapunov 指数 clear;
yinit = [1,1,1]; orthmatrix = [1 0 0;
0 1 0;
2
0 0 1];
a = 0.15;
b = 0.20;
c = 10.0;
y = zeros(12,1);
% 初始化输入
y(1:3) = yinit; y(4:12) = orthmatrix;
tstart = 0; % 时间初始值 tstep = 1e-3; %时间步长 wholetimes = 1e5; % 总的循环次数
steps = 10; %每次演化的步数 iteratetimes = wholetimes/steps; %演化的次数 mod =
zeros(3,1);
lp = zeros(3,1);
% 初始化三个 Lyapunov 指数
Lyapunov1 = zeros(iteratetimes,1);
Lyapunov2 = zeros(iteratetimes,1);
Lyapunov3 = zeros(iteratetimes,1);
for i=1:iteratetimes
tspan = tstart:tstep:(tstart + tstep*steps); [T,Y] = ode45('Rossler_ly', tspan, y);
% 取积分得到的最后一个时刻的值
y = Y(size(Y,1),:);
% 重新定义起始时刻
tstart = tstart + tstep*steps;
y0 = [y(4) y(7) y(10);
y(5) y(8) y(11);
y(6) y(9) y(12)];
%正交化
y0 = ThreeGS(y0);
% 取三个向量的模
mod(1) = sqrt(y0(:,1)'*y0(:,1));
mod(2) = sqrt(y0(:,2)'*y0(:,2));
mod(3) = sqrt(y0(:,3)'*y0(:,3)); y0(:,1) = y0(:,1)/mod(1);
y0(:,2) = y0(:,2)/mod(2);
y0(:,3) = y0(:,3)/mod (3);
Ip = lp+log(abs(mod));
%三个 Lyapunov 指数
Lyapu nov1(i) = lp(1)/(tstart);
Lyapu nov2(i) = lp(2)/(tstart);
Lyapu nov3(i) = lp(3)/(tstart); y(4:12) = y0';
end
%作 Lyapunov 指数谱图
i = 1:iteratetimes;
plot(i,Lyap uno v1,i,Lyap uno v2,i,Lyap unov3)
程序中用到的 ThreeGS 程序如下:
%G-S 正交化
function A = ThreeGS(V) % V 为 3*3 向量
v1 = V(:,1);
3
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