论文研究-分数阶非线性Duffing振子方程的特性研究.pdf

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将Caputo分数阶微分算子引入到非线性的Duffing振子方程中,运用同伦扰动变换法——一种同伦扰动法和Laplace变换相结合的方法来求解分数阶的非线性方程,借助Mathematica软件的符号计算功能得到了分数阶非线性Duffing振子方程的近似解,研究了振子运动过程与分数阶导数之间的关系。
李娜:分数阶非线性 Duffing振子方程的特性研究 2014,50(18 3t3t523t4t1 (24)比较式两边p的幂次得到 04020160825 [1-t2/2+t2/24-t/720+…] p: u-L[L(uo]'s]-L [L[uo]s]-L [LLud]" ()=t u,=L [Lu]s-L [LLuIs]-L [LBucuI's" 对应的整数阶方程的解u(4)=sin(4),与文献[17的 p:u3=-LL[2“-]-L[L[u2/ 结果吻合。从而验证了同伦扰动变换法是一种求解分 .[[32n2+3u02]/] 数阶非线性方程简单有效的方法,提供了一种新的求解 分数阶方程的方法。取方程(5)的三阶近似级数解,研 究分数阶的振子位移的振动情况如图1。图1给出了振 借助 Mathematica软件的符号计算功能得到级数解: 子位移μ随分数阶导数α和时间t的三维图像,当分数 (a+1)1(a+3)I(a+5)1(a+7) 阶导数a较小时,对振子振动的影响越明显。 r(-l+2a)T(7+2a)r(+ar(1+4a) 3r+r(3+3a) r(+a)r(3+a)I(3+4a) r(5+3a) r(1+a)r(3+a)r(S+4a) 0 3tr(5+3a r(7+3a) (1+a)I(5+aI(5+4)F(3+a)I(7+4ax) 1.6 802 3r+4(7+ r(1+a)r(7+a)(7+4) 图1方程(5)的三阶近似解随分数 阶导数a和时间t的振动情况 由于级数解比较复杂这里不再一一列出,其他项可 再者为研究阻尼振子方程振动与分数阶导数之间通过 Mathematica件得出,从而方程(25)的近似解可 的关系,如在黏弹性介质中的阻尼振动等,阻尼项一般以表示为 可用分数阶微积分进行描述,研究如下的分数阶非线性 a+4 l()= Duffing阻尼振动方程 I(a+1)T(+3)T(a+5)T(a+7) 2+2n 2u ln+D+a+=cos(,0<a≤1 (25) 31 r(-1-2a)T(7+2a) 初值条件: 不妨取级数解的前三项并省略高阶项迭代多次得 (0)=0.l(0)=0 (26) 到分数阶阻尼 Duffing振动方程的复杂特性如图2,由此 将周期外力cos(t)在t=0点做 Taylor展开 可以看出受迫分数阶阻尼振动的运动情况 cos()=1-t2/2+t424-720+ 方程(25)两边关于时间t分别作 Laplace变换得到 S L(u)+SL(u)+Llu]+Lul L[1-22+t4/24-°/720+… (28) 8101214 整理变形得到 l()=-L L(u)l-L C-0.48 0.80 2[1-t2/2+t2/24-720+…] (29) 将式(11)和式(12)带入到方程(29)中 图2分数阶阻尼振动方程(25)随分数 阶导数a的振动情况 ∑pun=L[L-t2/2+t1/241720+…1"] 图2给出了a=0.48,0.6,0.8三种情况下的图像, --11∑pn)-1u∑pw1s 可以观察到分数阶振子振动与阻尼项阶数的关系,随着 时间的推移呈现衰减的特性。并且a越小,振子的记忆 L[L[∑p"H1(u)/s 能力越强,振子的变化幅度也就越大。通过引入分数阶 的微积分算子来描述黏弹代介质中的阻尼振动往往比 014,50(18 Computer Engineering and Applications计算机工程与应用 人为构造非线性的整数阶方程简单而且更能反应振子 (5):857-861 运动与阻尼项的关系 [9 Wang Shaowei, Xu Mingyu Axial couette flow of two kinds of fractional viscoelastic fluids in an annulus[J] 3结果和讨论 Nonlinear Analysis: Real World Applications, 2009, 10(2) 本文利用同伦扰动变换的方法求解了分数阶 Duffing 1087-1096 振子方程的近似解,并研究了振子振动与分数阶导数之10 Adomian G. A review of the decomposition method in 间的关系,为分数阶 Duffing振了系统的混沌特性、混沌 applied mathematics [J]Journal of Mathematical Analysis 同步问题等其他特性的研究提供了一定的依据 and Applications, 1988. 135(2):501-544 [ll] Wazwaz A M. El Sayed M. A new modification of the adomian decomposition mcthod for lincar and nonlincar 参考文献: operators[J] Applied Mathematics and Computation, 2001 !坤,关新平,J喜峰,等. Duffing振子系统周期解的哐 122(3):393-405 性与精确周期信号的获取方法[J物理学报,2010,59(10): [12 He Jihuan Variational iteration method-a kind of no 6859-6863 2]顾仁财,许勇,郝孟丽,等Levy稳定噪声激励下的 Duffing linear analytical technique: some examples[J]. International Journal of Non-Lincar Mechanics 1999, 34(4): 699-708 van der pol振子的随机分岔门物理学报,2011,60(6) 13]Wazwaz a MThe variational iteration method for analytic [3]刘艳芹一类分数阶非线性振子的特性研究计算机工程 treatment for linear and nonlinear ODEs[]. Applied Math 与应用,2012,48(16):30-32 ematics and Computation, 2009, 212(1): 120-134 [4 Vincent U E, Odunaike R K, Laoye J A, et al. 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