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相关系数算法-空气中PM2.5问题的研究.pdf
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相关系数算法-空气中PM2.5问题的研究.pdf
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第
第
十
十
届
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华
华
为
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杯
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全
全
国
国
研
研
究
究
生
生
数
数
学
学
建
建
模
模
竞
竞
赛
赛
题 目
空气中 PM2.5 问题的研究
摘 要:
本文建立了相关性分析模型,灰色关联度模型,混合回归模型,高斯烟羽
模型,分期治理最优化模型等模型,通过定量与定性分析的方法,从相关因素、
分布与演变、控制管理三个方面,对 PM2.5 进行了深入的研究与探讨。
针对问题一:
1、以六种污染物为相关量,建立了相关性分析模型。将附件 1 的数据代入
模型中,求得的结果表明:相关性最高的指标组是 PM2.5 和 CO,其相关系数为
0.82,相关性最低的指标组是 NO
2
和 O
3
,其相关系数为-0.063,即独立性最强。
2、以 PM2.5 为参考数列,其它 5 种污染物为比较数列,建立了灰色关联
度分析模型,将附件 1 的数据代入模型中,求得的结果表明:PM2.5 与其它五
种污染物的平均关联度为 0.80,可见相关性较高。以 PM2.5 为因变量,其它
五种污染物为自变量,先后建立多元线性回归模型和混合回归模型,模型结果
表明:混合回归模型更优(相关系数由 0.85 增加为 0.89)。
3、利用互联网收集到全国 76 个城市 AQI 的 6 个监测指标和湿度数据,以
PM2.5 为因变量,其它五种污染物为自变量,建立了线性回归模型。将湿度指
标也考虑为自变量后,回归模型的相关系数得到明显提升(由 0.88 提升到
0.92),表明湿度与 PM2.5 存在较强的相关性。
针对问题二:
1、通 过 伽马分布预测出 2013 年西安市 13 个地区 PM2.5 的全部数据,利用
MATLAB 画出了 PM2.5 时空分布图,并得出了三种分布规律。考虑到各地区
“污染程度”为较模糊的概念,因此建立了模糊综合评价模型,对每个地区的
污染程度进行了综合评价,模型结果表明:高压开关厂地区污染指数最高
(94.39),阎良区地区污染指数最低(75.27)。
- 1 -
2、对 PM2.5 受风力影响在大气中扩散的问题,建立了高斯烟羽模型进行
分析。假设风向为正北向,风速为 40
/km h
,扩散系数
σ
为 0.00001,排放源有
效高度为 50
m
,初始浓度为各监测站点的最高值,对模型进行求解,得到 13
个地区的扩散数据(仅列出高压开关厂地区的上风处扩散数据):
距离(km) 0 2 4 6 8 10 11 12
PM2.5 浓 度(
m
g/m
3
)
1000
850 703 480 292 108 21 0
时间(
min
)
0
20
36
58
82
106
115
121
3、将 PM2.5 污染程度划分为重度污染、中度污染和轻度污染(安全)三
个级别,同样假设风向为正北向,风速为 40
/km h
,扩散系数
σ
为 0.00001,排
放源有效高度为 50
m
,初始浓度为某站点最高值 2 倍,利用高斯烟羽模型求出
13 个地区的扩散数据,结合各个地区之间的距离,得到了各地区的污染程度。
以高压开关厂为例,得到结果如下:
轻度污染(安全) 中度污染 重度污染
阎良区 临潼区 广运潭
纺织城 长安区
市体育馆 曲江文化集团
兴庆小区
其它
地区
4、利用互联网收集到了福岛第一核电站的放射性物质扩散数据,将放射性
物质与 PM2.5 扩散数据进行对比,发现两者的扩散规律总体一致,从而验证了
模型的合理性。利用物质的自身沉降作用和雨水吸附作用对高斯烟羽模型进行
了修正,得到了修正后更为一般性的扩散模型。
针对问题三:
1、根据以往空气质量的变化趋势及 PM2.5 当前年平均浓度 (280
3
/gm
m
),
预测出在不治理的情况下,五年后 PM2.5 年平均浓度为 324
3
/gm
m
。然后采用
分期治理的思想,将五年的治理时期分为前期、中期和后期。考虑到实际治理
进度的变化规律与柯西分布函数相似,通过计算机模拟找出了最理想的柯西分
布函数,由此确定了 PM2.5 的分期治理计划:
时期
前期(准备期)
中期(治理期)
后期(稳固期)
年次 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年
治理量百分比(%
)
9.6 32.7 38.8 15.3 3.6
治理量
31
.
1
105
.
94
125
.
71
49
.
57
11
.
66
2、以专项治理总费用最小为目标,建立了最优化模型。然后同样采用分期
治理的思想,利用柯西分析函数对最优化模型进行修正,得到修正后的分期治
理最优化模型。以数据 1 中 PM2.5 年平均浓度(82
3
/gm
m
)为初始浓度,假设
最终治理目标为 30
3
/
gm
m
,对模型进行求解,得到总费用为 3.38(百万),逐
年治理计划如下表:
时期 前期(准备期)
中期(治理期)
后期(稳固期)
年次 第一年 第二年 第三年 第四年 第五年
治理量
3
/gm
m
4.15 13.65 19.1 9.85 3.25
费用(百万元) 0.086 0.932 1.824 0.485 0.053
将模型得到的治理计划与实际环境治理计划进行对比,发现两者的治理进
度变化规律总体一致,从而验证了模型的合理性。
关键字:相关性分析模型 灰色关联度模型 高斯烟羽模型 柯西分布函数
- 2 -
1 问题重述
1.1
问题背景
“2013 年初以来,中国发生大范围持续雾霾天气。据统计,受影响面积约
占国土面积的 1/4,受影响人口约 6 亿人”。 对空气质量监测,预报和控制等问
题,国家和地方政府均制定了相应政策、法规和管理办法。调整了环境空气功
能区分类等。 AQI 是无量纲指数,它的分项监测指标为 6 个基本监测指标(二
氧化硫 SO
2
、二氧化氮 NO
2
、可吸入颗粒物 PM10、细颗粒物 PM2.5、臭氧 O
3
和一氧化碳 CO 等 6 项 )。 新标准中,首次将产生灰霾的主要因素——对人类
健康危害极大的细颗粒物 PM2.5 的浓度指标作为空气质量监测指标。
1.2
问题的提出
对细颗粒物 PM2.5 及相关的因素的统计数据还太少,对 PM2.5 的客观规律
也了解得很不够。我们必须千方百计利用现有的数据开展研究,同时新课题、
探索性研究、“灰箱问题”也有可能成为数学建模爱好者的用武之地。
1.3
本文所需解决的问题
一、PM2.5 的相关因素分析
请依据附件 1 或附件 2 中的数据或自行采集数据,利用或建立适当的数学
模型,对 AQI 中 6 个基本监测指标的相关与独立性进行定量分析,尤其是对其
中 PM2.5(含量)与其它 5 项分指标及其对应污染物(含量)之间的相关性及
其关系进行分析。如果你们进而发现 AQI 基本监测指标以外的、与 PM2.5 强相
关的(可监测的)成分要素,请陈述你们的方法、定量分析结果、数据及来源。
二、PM2.5 的分布与演变及应急处理
请依据附件 2、附件 3 中的数据或自行采集某地区的数据,通过数学建模
探索完成以下研究:
1、描述该地区内 PM2.5 的时空分布及其规律,并结合环境保护部新修订
的《环境空气质量标准》地区进行污染评估。
2、建立能够刻画该地区 PM2.5 的发生和演变(扩散与衰减等)规律的数
学模型,合理考虑风力、湿度等天气和季节因素的影响,并利用该地区的数据
进行定量与定性分析。
3、假设该地区某监测点处的 PM2.5 的浓度突然增至数倍,且延续数小时,
请建立针对这种突发情形的污染扩散预测与评估方法。并以该地区 PM2.5 监测
数据最高的一天为例,在全地区 PM2.5 浓度最高点处的浓度增至 2 倍,持续 2
小时,利用你们的模型进行预测评估,给出重度污染和可能安全地区。
4、采用适当方法检验你们模型和方法的合理性,并根据已有研究成果探索
PM2.5 的成因、演变等一般性规律。
三、空气质量的控制管理
数据 1 所在地区的环境保护部门考虑治污达标的紧迫性和可行性,在未来
五年内,拟采取综合治理和专项治理相结合的逐年达到治理目标的方案。请考
虑以下问题:
- 3 -
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1、该地区目前 PM2.5 的年平均浓度估计为 280(单位为
3
/gm
m
), 要 未 来
五年内逐年减少 PM2.5 的年平均浓度,最终达到年终平均浓度统计指标 35(单
位为
3
/gm
m
),请给出合理的治理计划,即给出每年的全年年终平均治理指标。
2、据估算,综合治理费用,每减少一个 PM2.5 浓度单位 ,当年需投入一
个费用单位(百万元),专项治理投入费用是当年所减少 PM2.5 浓度平方的
0.005 倍(百万元)。请你为数据 1 所在地区设计有效的专项治理计划,使得既
达到预定 PM2.5 减排计划,同时使经费投入较为合理,要求你给出五年投入总
经费和逐年经费投入预算计划,并论述该方案的合理性。
2 模型假设与符号说明
2.1
模型假设
假设 1:连续排放时 PM2.5 排放的速率恒定;
假设 2:PM2.5 在平整、无障碍的地面上空扩散;
假设 3:地面及地标地物对 PM2.5 无吸收;
假设 4:风向水平,风速和风向恒定;
假设 5:风速大于无风情况下放射性气体扩散的速度;
假设 6:排放源的源强是连续且均匀的,初始时刻 PM2.5 的浓度、温度呈
均匀分布。
2.2
符号说明
表 2-1 符号说明
参数符号
符号说明
( 1, 2, , 6)
i
Xi=
分别代表 SO
2
、
NO
2
、
PM10、CO、O
3
、
PM2.5 的监测指标
( 1,2, ,5)
i
ri=
分别代表 SO
2
、
NO
2
、
PM10、CO、O
3
对 PM2.5 的关联度
i
x
PM2.5 第
i
年减少(治理)量
y
代表样本 PM2.5 的含量
u
平均风速
d
PM2.5 物质粒子直径
i
σ
扩散系数
α
PM2.5 年平均增长率
0
c
PM2.5 初始浓度
- 4 -
j
c
第
j
年 PM2.5 浓度
Z
五年专项治理投入总经费
i
S
每年专项治理投入费用
i
k
第一年到第
i
年 PM2.5 的累计减少量与 PM2.5 初始量之比
3 问题分析
3.1
针对问题一
1、对 AQI 中 6 个基本监测指标的相关与独立性进行定量分析:这个问题
是典型的相关性分析问题,因此可以建立相关性分析模型来求解。
2、对 PM2.5 含量与其它 5 项污染物含量之间的相关性及其关系进行分析:
首先可以利用灰色关联度模型分析 PM2.5 含量与其它 5 项污染物含量的关联
度,然后可以以 PM2.5 含量为因变量,其它污染物含量为自变量,先后建立多
元线性回归方程和混合回归模型,从而确定 PM2.5 与其它污染物的定量关系。
3、PM2.5 其它相关因素的探寻:题目中提到了二氧化硫(SO
2
),二氧化
氮(NO
2
),一氧化碳(CO)是在一定环境条件下形成 PM2.5 前的主要气态物
体,可以认为这些污染物在空气中通过物理和化学反应转化为了 PM2.5,而水
一般都是化学反应不可缺少的物质,因此有理由相信空气湿度与 PM2.5 有关。
首先可以通过互联网收集到湿度数据,然后对数据进行分析,说明湿度与 PM2.5
的相关性。
3.2
针对问题二
1、描述该地区 PM2.5 的时空分布及其规律,并地区进行污染评估:首先
可以利用 MAT LAB 画出该地区 PM2.5 的时空分布图,并由时空分布图分析
PM2.5 的分布规律。由于“污染程度”属于比较模糊的概念,因此可以利用模
糊综合评价模型对各站点进行综合污染评估。
2、建立能够刻画该地区 PM2.5 的扩散规律的数学模型,并利用该地区的
数据进行定量与定性分析:考虑风速的情况下,空气中污染物的扩散,可以采
用高斯烟羽模型进行分析,利用此模型求出西安市 13 个地区 PM2.5 的扩散数
据,从而对该地区的污染情况进行定量与定性分析。
3、全地区 PM2.5 含量最高点处的含量增至 2 倍,持续 2 小时,利用模型
进行预测评估,给出重度污染和可能安全地区:首先根据新修订的《环境空气
质量标准》将 PM2.5 划分为重度污染,中度污染,轻度污染(安全)三个等级,
然后利用模型求出各个地区的扩散数据,最后结合各地区的两两距离,判断各
个地区的污染情况。
4、采用适当方法检验模型和方法的合理性,并根据已有研究成果探索
PM2.5 的成因、演变等一般性规律:由于发射性物质在大气中的扩散规律与
PM2.5 的扩散规律相似,因此可以将模型求出的 PM2.5 的扩散数据与已有的
放射性物质扩散数据进行对比,从而检验结果和模型的合理性。对 PM2.5 扩散
- 5 -
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