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同心圆偏心误差补偿迭代的相机标定方法.docx
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同心圆偏心误差补偿迭代的相机标定方法.docx
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摘要
研究了透视投影对同心圆偏心误差的影响并建立了偏心误差数学模型,提出一种基于同心
圆偏心误差补偿迭代的高精度相机标定方法,使用基于几何约束的优化算法不断更新同心
圆中心投影坐标,以精确地定位图像中同心圆的控制点投影中心,从而实现相机高精度标
定。实验和仿真结果验证了所提方法在视觉应用中的有效性。与传统方法相比,所提方法
可为计算机视觉和三维重建任务提供更准确的相机标定结果。
Abstract
This paper established an eccentric error mathematics model based on analysis of the
effect of concentric circle eccentricity error caused by perspective projection, and put
forward a high-precision camera calibration method based on concentric eccentric error
compensation iteration. The method used optimization algorithm based on geometric
constraint to constantly update the coordinates of the center projection of concentric
circles, so as to achieve high precision camera calibration. Experiments and simulations
verify the effectiveness of the proposed method in visual applications. The results show
that the proposed method can provide higher precision calibration results for computer
vision and three-dimensional reconstruction tasks compared with traditional methods.
1 引言
在视觉测量的光学系统中,为了获取高精度的三维信息,通常需要准确估计相机的内部参
数和姿态
[1]
,因此需要对视觉测量系统进行建模。相机模型描述的是相机将真实三维世界
的坐标点映射到二维图像平面的过程
[2]
。标定便是建立相机模型并且获取其参数矩阵的实
现方法。获取高精度标定结果在计算机视觉和三维重建中起着至关重要的作用。
目前流行的标定方法通常使用不同形式的目标。基于三维目标的相机标定方法
[3-4]
通过三
维目标的丰富信息可以获得高精度的标定结果。但是三维目标难以加工,尤其是在一些大
场景测量的情况下,标定方式更易受空间限制。与三维目标相比,使用二维平面目标
[5-8]
的相机标定方法具有更高的灵活性。Zhang
[5]
提出的基于二维平面目标的标定方法因其实
用性和简单性而得到广泛应用,并且成为了相机标定的黄金标准。
标定算法的性能主要依靠图像特征点的定位精度以及优化算法的效果。文献[9-12]中相
继提出了使用迭代更新提取目标特征点的方法用于提取高精度的图像特征点,实现标定图
像的非失真校准和正投影变换。然后使用该标准平面定位校准模式控制点,并重新计算相
机参数并进行迭代求精,直到收敛,从而得到准确的相机参数。一个有效收敛的迭代算法
能在很大程度上改善标定结果。
相机标定研究中通常使用一些平面图案(如棋盘格、二维码、圆形和同心圆)作为校准目
标。这些图案模式将圆形和圆环图案作为控制点,比棋盘格角点提取在控制点定位方面具
有更稳健和准确的效果
[8-11]
。相机采集几何图案时,相机光学系统会呈现非线性失真,由
摄影几何原理可知,当倾斜拍摄目标时,圆在图像上会投影为椭圆,其圆心坐标与真实投
影坐标存在偏差
[13]
。因此,在这种情况下,精确定位控制点是一项非常困难的任务,即
使是很小的误差也可能会影响相机标定精度。为了补偿圆目标的偏心误差、提高图像特征
点定位精度,Ahn 等
[14]
详细描述了典型圆形目标相机成像的偏心误差,并给出了完整的
数学描述。He 等
[15]
则通过建立位置畸变模型,完成了偏心误差的数值模拟。魏振忠等
[16]
通过一个新的数学模型预测了圆形目标与其透视图像之间的严格关系,该模型可以自
动确定圆形目标的面形,并对偏心误差进行补偿。Heikkila 和 Silven
[17]
讨论了偏心误差对
摄像机标定的影响,并构建了由几何参数组成的误差修正方程。
本文深入研究了同心圆偏心误差和内外椭圆之间的关系,描述了同心圆内外圆心和椭圆心
的投影之间的关系,并建立其偏心误差数学模型。为了进一步提高相机标定精度,本文通
过比较同心圆特征点的中心与其真实投影坐标的关系,建立了偏心误差补偿模型,采用几
何约束方法对图像上同心圆目标投影中的偏心误差进行修正,并采用迭代计算的方法获取
同心圆图像真实投影点坐标,从而更加精确地提取同心圆特征点坐标,最终对相机标定参
数进行优化。
2 相机标定原理
相机模型是描述三维世界点与其在相机图像平面上投影关系的一组数学方程。假设图像平
面中点的像素齐次坐标用 x=[u v 1]Tx=u v 1T 表示,相应的空间三维点齐次坐标用
P=[Xw Yw Zw 1]TP=Xw Yw Zw 1T 表示。使用针孔相机模型,则相机成像模型可表示
为
sx=K[Rt]P, K=⎡⎣⎢fx00γfy0u0v01⎤⎦⎥sx=KRtP, K=fxγu00fyv0001,(1)
式中:s 为任意比例因子;R 和 t 为相机的外参数,表示世界坐标系相对于相机坐标系的位
置,R 为 3×33×3 的旋转矩阵,R=[r1 r2 r3]R=r1 r2 r3,t 为 3×13×1 的平移向量;K
为相机的内参矩阵;γγ 为图像 uu 轴和 vv 轴的不垂直因子;fxfx 和 fyfy 分别为图像像素坐
标系下 uu 轴和 vv 轴的尺度因子;u0u0 和 v0v0 为相机在 xx 和 yy 方向上的主点坐标。
当使用平面目标校准设备时,假定平面目标位于世界坐标系中的平面 Z=0Z=0 处。因此可
以将式(1)表示为
s⎡⎣⎢xy1⎤⎦⎥=K[r1r2r3t] ⎡⎣⎢⎢⎢⎢XY01⎤⎦⎥⎥⎥⎥=K[r1r2t]⎡⎣⎢XY1⎤⎦⎥=HP¯¯¯sxy1=K[r1r2r3t] XY
01=Kr1r2tXY1=HP¯,(2)
式中:HH 为单应性矩阵;P¯¯¯=[X,Y,1]TP¯=X,Y,1T。
Zhang
[5]
通过计算多个校准目标图像之间的单应性矩阵 HH,可以获得内参数和外参数的
初始值。相机标定参数的初始值估计并不是最优结果,因为它是通过奇异值分解获得的,
奇异值分解通过最小化代数距离计算得到结果,并不具备实际的物理意义,故需对分解结
果进行迭代优化以获取精确值。最终的全局优化过程会使用前面得到的相机参数值作为初
始值,以特征点重投影误差为约束,重新优化所有相机参数,其目标函数为
∑i∑j∥∥x'ij−x(K,k,p,Ri,ti,X'j)∥∥2∑i∑jxij'-x(K,k,p,Ri,ti,Xj')2,(3)
式中:x'ijxij'为第 ii 张标定图像中第 jj 个标定点的亚像素坐标;
x(K,k,p,Ri,ti,X'j)x(K,k,p,Ri,ti,Xj')为标定点 X'jXj'的重投影坐标值;
k=[k1 k2 k3]k=[k1 k2 k3]为径向畸变参数;p=[p1 p2]p=[p1 p2]为切向畸变参数。通
常使用 Levenberg-Marquardt 算法对此目标函数进行优化
[18]
。
标定过程中还需考虑相机光学镜头产生的径向和切向畸变,径向和切向畸变可使用以下表
达式进行近似计算
[11-12]
:
Γ(Xd,k,p)=[xi(1+k1r2+k2r4+k3r6)+2p1xiyi+p2(r2+2x2i)yi(1+k1r2+k2r4+k3r6)+2p2
xiyi+p1(r2+2y2i)]Γ(Xd,k,p)=xi(1+k1r2+k2r4+k3r6)+2p1xiyi+p2(r2+2xi2)yi(1+k1r2+k2r4+
k3r6)+2p2xiyi+p1(r2+2yi2),(4)
式中:[xi yi]Txi yiT 为图像像素点的理想成像坐标;Xd=[xd xd]TXd=[xd xd]T 为图像像
素点的实际成像坐标;rr 为图像坐标到主点的距离,r2=x2i+y2ir2=xi2+yi2。
3 基于同心圆偏心误差补偿迭代优化的相机标定方法
3.1 基于几何约束的同心圆中心坐标误差补偿方法
3.1.1 同心圆偏心误差模型
根据 Ahn 等
[14]
的研究工作,相机透视投影导致成像平面和圆形目标平面彼此不平行,圆
形成像为椭圆,椭圆中心与圆形目标的真实投影中心存在偏差,称为偏心误差。且该误差
只与相机成像面和圆形目标面之间的夹角有关。
同心圆目标中的偏心误差成像原理如图 1(a)所示。几何约束数学模型如图 1(b)所
示,O 为相机的光学中心,O-xyzO-xyz 为相机坐标系,CC 为同心圆真实圆心,cc 为图
像平面上同心圆真实圆心的投影。根据图像提取得到的内外椭圆圆心分别为 cincin 和
coutcout,它们在同心圆目标平面上的投影分别为 CinCin 与 CoutCout。pp 为根据同心圆
内外椭圆圆心坐标求得的像面上同心圆的中心坐标。根据视图几何原理,cc 与 pp 会存在
一定的偏差,偏移量 Δp=|c−p|Δp=c-p 即为偏心误差。
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