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基于傅里叶变换的Gamma因子快速自标定方法.docx
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基于傅里叶变换的Gamma因子快速自标定方法.docx
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摘要
为减少测量系统中由非线性响应引起的相位误差,提出一种基于傅里叶变换的 Gamma 因子
快速自标定方法。首先,对捕获的光栅条纹进行傅里叶变换,将图像由灰度值域转换到频率
值域;其次,在频率值域找到畸变光栅条纹的高次谐波分量与基波分量,通过优化函数在实数
范围内搜索最佳预编码 Gamma 值,使高次谐波分量与基波分量的功率比值最小,完成测量
系统的 Gamma 值自标定,进而有效减小实际测量过程中的相位误差;最后,在标准平面及实
际测量物体上对所提方法进行实验验证,并与经典的相位误差校正算法进行对比。实验结果
表明,所提方法能极大地抑制 Gamma 非线性响应,比已有相位误差校正方法更简单高效,具
有更高的测量精度和测量效率。
Abstract
To reduce the phase error caused by the nonlinear response in the measurement
system, this paper proposed a fast self-calibration method of the Gamma factor based on
the Fourier transform. In this method, Fourier transform of the captured grating fringes
was performed to convert the image from the gray-scale domain to the frequency
domain. Then, the high-order harmonic components and fundamental components of the
distorted grating fringes were found in the frequency domain. The optimal pre-encoded
Gamma value within the real number range was searched by an optimization function to
minimize the power ratio of the high-order harmonic components to the fundamental
components and complete the Gamma value self-calibration of the measurement system,
which thereby effectively reduced the phase error in the actual measurement process.
On standard planes and actual measurement objects, the method in this paper was
verified by experiments and compared with classic phase-error correction algorithms.
Experimental results prove that this method can suppress Gamma nonlinear response to
a great extent. It is simpler and more efficient than existing phase-error correction
methods and improves measurement accuracy and measurement efficiency.
1 引言
传统三维测量方法由于测量过程复杂、计算量大、精度较低,不能满足当前精密测量的需
求。条纹投影相移轮廓术作为结构光投影三维测量的代表性方法,具有高效率、低成本、非
接触、测量范围广等优点,被广泛应用于文物保护、医学诊断、工业检测、虚拟现实等领域
[1-2]
。条纹投影相移轮廓术的基本原理是:首先,利用计算机产生特定结构的光栅条纹图案,经
过数字投影仪投射至被测物体表面;然后,采用 CCD 相机捕获经被测物体表面调制的形变条
纹图像,使用标准 N 步相移算法解得相位主值图配合相位解包裹运算,得到被测物体的绝对
相位图;最后,根据相位信息、数字投影仪与 CCD 相机之间的参数关系,计算出被测物体的三
维信息
[3-7]
。
在条纹投影相位测量中,正弦光栅条纹以其独特优势成为使用频率最高的结构光栅。在测量
过程中,由于系统噪声、相移偏差、数字投影仪和 CCD 相机非线性响应的影响,相位测量结
果出现误差,严重影响三维测量精度。在光栅条纹投影测量系统中,通过图像预处理和数字
相移可以消除系统噪声和相移偏差的影响。因此,数字投影仪和 CCD 相机的非线性响应成
为测量系统的主要误差源,这种非线性响应一般被称为 Gamma 畸变。为了降低测量系统的
相位误差,国内外学者进行了深入研究并提出了多种相位误差校正方法
[8-25]
,主要分为被动相
位误差校正法、主动相位误差校正法、逆向相位误差校正法三大类。
被动相位误差校正法不改变数字投影仪的输入条纹图案,而是通过不同的标定方法求出畸变
条纹图像在相位值域的误差分布规律,如误差分布多项式、相位误差查找表
[8-14]
等。根据相
位误差的分布规律,对相机捕获的畸变条纹图像进行相应的相位误差校正。例如 Xiong 等
[8-
10]
提出利用捕获的条纹图案记录全场相位差值,得到整场的相位误差补偿曲线,建立相位误差
补偿表对相位进行校正。Yatabe 等
[11]
利用多项式拟合技术得到输入输出条纹关系,进而对
条纹图像进行补偿。Liu 等
[12]
利用条纹谐波方程推导出相位误差模型,只要获得模型系数,即
可补偿相位误差。吴蜀予等
[13]
通过对解得的相位值进行最小二乘单调光顺拟合来校正相位
误差。被动相位误差校正方法在稳定的测量环境(环境光不随时间而变化)中可获得较好的
校正效果,但当测量环境改变时,需要重新标定;当进行全场相位误差补偿时,需要标定出全部
像素点的相位误差,标定过程复杂、费时。
主动相位误差校正法根据预先标定的系统非线性关系,通过直接改变数字投影仪的输入光栅
条纹图案,得到高精度的正弦条纹图像
[15-19]
,经预编码的光栅条纹图案被相机捕获后仍能保持
良好的正弦性。Hoang 等
[15]
使用标准三步和标准 N(N>12)步相移算法标定出测量系统的最
佳预编码 Gamma 值,将预编码后的正弦条纹图案投射至被测物体表面,经相机捕获后,不需
要进行相位误差校正就能得到较高精度的相位值。李付谦等
[16-17]
建立了相位误差的分布模
型,主动改变光栅条纹的编码来抑制非线性误差。与被动相位误差校正方法相比,主动相位
误差校正方法受环境等因素的影响较小,主动相位误差校正法的测量效率高,但其误差校正
效果与相位误差的标定精度有关,标定精度越高,捕获的预编码条纹越准确。
逆向相位误差校正法根据光栅条纹的相位误差分布规律,额外投射与原始条纹相位误差大小
相等、方向相反的条纹图案,对两次相位测量结果取均值即可消除条纹图案的相位误差
[20-
24]
。Huang 等
[20]
最早提出逆向相位误差校正方法。毛翠丽等
[21]
将倍频法与逆向相位误差校
正法相结合,能在较大程度上抵消相位误差,但需要多投影一倍的条纹图案,导致测量效率降
低。Cai 等
[22]
使用希尔伯特变换对捕获的光栅条纹进行处理,得到与原始条纹相位误差大小
相等、方向相反的形变条纹,两者求和取平均后,得到高精度相位值,但是要求测量物体不能
间断。逆向相位误差校正法的原理简单、易操作,且不受测量环境影响,但条纹图案数量的
增多导致测量效率降低。
本文在频域范围内分析 Gamma 畸变中高次谐波对相位精度的影响,提出一种基于傅里叶变
换的 Gamma 因子快速自标定方法。通过优化函数在实数范围内搜索最佳预编码 Gamma
值,使频域内高次谐波分量与基波分量的功率比值最小,最大限度地抑制畸变光栅条纹的高
次谐波分量,降低测量系统中 Gamma 畸变对相位的影响,提高测量精度。所提方法利用光
栅条纹在平面上的投影特性,只需一幅畸变条纹图案即可完成测量系统的 Gamma 值自标
定,不需要复杂的计算和额外的投射光栅条纹,操作简单,速度快。最后,通过计算机软件仿真
和实际测量,验证了本文方法的有效性。
2 原理
2.1 相位测量原理
实际测量时投射的光栅条纹为计算机生成的标准正弦光栅条纹,投射的第 N 条标准正弦光栅
条纹的数学表达式为
In(x,y)=a(x,y)+b(x,y)cos[φ(x,y)+δn],(1)In(x,y)=a(x,y)+b(x,y)cos[φ(x,y)+δn],(1)
式中:(x,y)为光栅条纹的像素坐标;I
n
(x,y)表示第 n 幅光栅条纹图像的光强分布;a(x,y)为控制
光栅条纹强度范围的背景光强,b(x,y)为调制幅度,且满足 0≤a(x,y)+b(x,y)≤1,使光栅条纹保持
在良好的灰度响应范围内,避免出现过饱和现象;δ
n
=2πn/N 为第 n 条光栅条纹的初始相位,其
中 N 为相移步数,n=0,1,…,N-1;φ(x,y)为目标物体的待求相位值,其求解公式
[12]
为
φ(x,y)=−arctan∑n=0N−1In(x,y)sinδn∑n=0N−1In(x,y)cosδn
。
(2)φ(x,y)=-arctan∑n=0N-
1In(x,y)sinδn∑n=0N-1In(x,y)cosδn。(2)
2.2 相位误差分析
相机采集光栅条纹图像的流程如图 1 所示。
随机噪声、相移误差、光栅条纹图像的离散化及光栅条纹图像的非正弦化会导致测量时产
生相位误差。利用数字投影仪投射由计算机生成的标准光栅条纹,可避免产生相移误差;标
准 N 步相移算法
[7]
能较大限度地抑制随机噪声;在计算相位前,通过滤波等图像预处理方法来
降低光栅图像中的随机误差;光栅条纹图像的离散化问题可通过预先设定合适的条纹周期、
灰度范围来解决。但是,在由投影仪和相机构成的测量系统中,测量仪器间的 Gamma 畸变
无法消除,导致数字投影仪和 CCD 相机之间的光传递函数不满足线性关系,相机捕获的光栅
条纹产生畸变。由图 1 可知,假设光栅条纹投射在待测物体上的反射率为 q(x,y),测量系统的
环境光为 d
1
(x,y),经被测物体反射回来的光栅灰度分布为
Ion(x,y)=q(x,y)[Ipn(x,y)+d1(x,y)]
。
(3)Ion(x,y)=q(x,y)[Ipn(x,y)+d1(x,y)]。(3)
图 1. CCD 相机采集光栅条纹图像的流程
Fig. 1. Flow chart of CCD camera collecting grating fringe image
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被测物体反射回来的光 IonIon(x,y)被 CCD 相机捕获,假设进入 CCD 相机内的环境光为
d
2
(x,y),CCD 相机捕获的光栅条纹灰度分布为
Icn(x,y)=pc{[Ion(x,y)+d2(x,y)]},(4)Icn(x,y)=pc{[Ion(x,y)+d2(x,y)]},(4)
式中:p
c
(·)表示相机对输入光强的响应函数。
综上所述,相机和投影仪的 Gamma 非线性响应使得捕获的正弦光栅条纹发生畸变,改变了
标准光栅条纹的光强分布。因此,CCD 相机捕获的非正弦光栅条纹图像 IcnIcn(x,y)可表示为
Icn(x,y)=h{In(x,y)}=h{a(x,y)+b(x,y)cos[φ(x,y)+δn]},(5)Icn(x,y)=h{In(x,y)}=h{a(x,y)+
b(x,y)cos[φ(x,y)+δn]},(5)
式中:h(·)为测量过程中的非线性映射关系。根据(2)式和(5)式,CCD 相机实际捕获的相位信
息 φ'(x,y)可表示为
φ'(x,y)=−arctan∑n=0N−1Icn(x,y)sinδn∑n=0N−1Icn(x,y)cosδn
。
(6)φ'(x,y)=-arctan∑n=0N-
1Icn(x,y)sinδn∑n=0N-1Icn(x,y)cosδn。(6)
由三角函数公式可知,
tanΔφ(x,y)=tan[φ'(x,y)−φ(x,y)],(7)tanΔφ(x,y)=tan[φ'(x,y)-φ(x,y)],(7)
则相位误差函数 Δφ(x,y)可表示为
Δφ(x,y)=arctan[tanφ'(x,y)−tanφ(x,y)1+tanφ'(x,y)tanφ(x,y)]
。
(8)Δφ(x,y)=arctantanφ'(x,y)-
tanφ(x,y)1+tanφ'(x,y)tanφ(x,y)。(8)
研究表明,光栅投影测量系统中的非线性响应可用 Gamma 模型
[15]
表示,联立(3)式和(4)式,相
机捕获的光栅条纹 IcnIcn(x,y)可简化为
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